Ungleichung im ang. Körper < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Man zeige: In einem angeordneten Körper K gilt [mm] \bruch{1}{x+y} \not= \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y}. [/mm] |
Hallo,
meine Ideen waren bis jetzt anzunehmen, dass [mm] \bruch{1}{x+y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] gilt und dies zum Widerspruch zu führen. Dies ist mir auch insofern gelungen, dass ich mit der p,q-Formel eine Gleichung lösen konnte und da kam unter der Wurzel was negatives raus... Aber das würde ja nur für den Körper R gelten. Oder soll ich dann zeigen, dass K vollständig ist, dann würde es sich ja um den Körper der reellen Zahlen handeln, da es nur einen vollständigen angeordneten Körper gibt.
Habt ihr bessere Ideen?
Danke!
Grüße kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 31.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige: In einem angeordneten Körper K gilt
> [mm]\bruch{1}{x+y} \not= \bruch{1}{x}[/mm] + [mm]\bruch{1}{y}.[/mm]
Tipp: Untersuche [mm]\bruch{1}{x+y} - \bruch{1}{x}-\bruch{1}{y}[/mm], indem du es zuerst auf den Hauptnenner bringst. Dann musst du zeigen, dass der Zähler nie 0 werden kann.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay. Das steht auch schon auf meinen Schmierzetteln.
Der Zähler lautet dann ja [mm] -x^2-xy-y^2 [/mm] .
Und da ja [mm] xy\not= [/mm] 0 ist auch x [mm] \not= [/mm] 0 und y [mm] \not= [/mm] 0. Damit kann also [mm] -x^2 [/mm] , xy und [mm] -y^2 [/mm] nicht Null werden und damit ist der gesamte Zähler nie Null. Und die Behauptung damit gezeigt. Richtig?
Eine andere Frage: Wenn der Körper jetzt nicht angeordnet wäre, dann würde doch die Behauptung zu trefffen oder?
Grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 31.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi Kiri!
> Eine andere Frage: Wenn der Körper jetzt nicht angeordnet
> wäre, dann würde doch die Behauptung zu trefffen oder?
Wenn du endliche Körper kennst, z. B. den mit 3 Elementen, dann kannst du ja mal die Fälle x = y = 1 oder x = y = 2 untersuchen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 31.10.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> Damit kann also [mm]-x^2[/mm] , xy und [mm]-y^2[/mm] nicht Null werden und
> damit ist der gesamte Zähler nie Null. Und die Behauptung
> damit gezeigt. Richtig?
Das sehe ich so nicht, und der Schluß ist so auch nicht zulässig. Ich hätte einen anderen Ansatz. Da x und y [mm] \not= [/mm] 0 sind, ist y = ax für ein a. Setz das mal in
[mm] \bruch{1}{x+y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
ein und such eine Gleichung für a, die dann widersprüchlich wird.
Gruß
Dieter
PS: Ich laß das mal auf teilbeantwortet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mi 31.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kiri!
> Hallo,
> okay. Das steht auch schon auf meinen Schmierzetteln.
> Der Zähler lautet dann ja [mm]-x^2-xy-y^2[/mm] .
> Und da ja [mm]xy\not=[/mm] 0 ist auch x [mm]\not=[/mm] 0 und y [mm]\not=[/mm] 0.
> Damit kann also [mm]-x^2[/mm] , xy und [mm]-y^2[/mm] nicht Null werden und
> damit ist der gesamte Zähler nie Null.
Nein, denn die drei Terme könnten sich ja gegenseitig wegheben, wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben.
Ich würde mir mal überlegen, was du in einem geordneten Körper über die relative Größe der Terme [mm]x^2[/mm], [mm]y^2[/mm] und [mm]xy[/mm] aussagen kannst. Zum Beispiel ist doch immer [mm]x^2\ge0[/mm].
Oder du machst es so, wie statler vorgeschlagen hat.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
danke erst mal für eure Antworten!
Ich habe zunächst einmal den Tipp von Rainer weiter verfolgt, den von dir, Dieter, noch nicht, Betonung auf noch. 
Es lautet:
[mm] -\bruch{y^{2}+x^{2}+xy}{(x+y)(xy)}=0 [/mm] Ein Quotient wird 0, wenn der Zähler 0 wird. Also muss gezeigt werden, dass [mm] y^{2}+x^{2}+xy [/mm] nicht Null werde kann. Aus der Aufgabenstellung folgt x [mm] \not= [/mm] 0, y [mm] \not= [/mm] 0 und xy [mm] \not= [/mm] 0.
Weiterhin ist [mm] x^{2}>0 [/mm] und [mm] y^{2}>0. [/mm]
Somit kann xy zwar negativ werden, aber ist nie größer als [mm] y^{2}+x^{2}. [/mm] Damit kann der Zähler nicht 0 werden.
Soweit korrekt? Kann so argumentieren?
Grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Mi 31.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo kiri!
> [mm]-\bruch{y^{2}+x^{2}+xy}{(x+y)(xy)}=0[/mm] Ein Quotient wird 0,
> wenn der Zähler 0 wird. Also muss gezeigt werden, dass
> [mm]y^{2}+x^{2}+xy[/mm] nicht Null werde kann. Aus der
> Aufgabenstellung folgt x [mm]\not=[/mm] 0, y [mm]\not=[/mm] 0 und xy [mm]\not=[/mm]
> 0.
>
> Weiterhin ist [mm]x^{2}>0[/mm] und [mm]y^{2}>0.[/mm]
> Somit kann xy zwar negativ werden, aber ist nie größer als
> [mm]y^{2}+x^{2}.[/mm] Damit kann der Zähler nicht 0 werden.
Das ist die Idee, ein bischen unpräzise formuliert: wenn xy negativ ist, ist es nie größer als [mm]y^{2}+x^{2}[/mm]. Du meinst natürlich, dass dann [mm]-xy 0[/mm].
Eine andere Möglichkeit wäre für [mm]xy<0[/mm]:
[mm]0\le (x+y)^2 =x^2+y^2+2xy \implies x^2 +y^2+xy\ge -xy>0[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mi 31.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo Rainer,
okay. Jetzt ist alles klar. Vielen Dank!
Grüße kiri
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