Ungleichung lösen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Für welche reellen Zahlen x ist die Ungleichung
2|x − 2| + |x + 2| [mm] \le [/mm] 8
erfüllt?
(b) Skizzieren Sie die Schaubilder der Funktionen f : R [mm] \mapsto [/mm] R und g : R [mm] \mapsto [/mm] R mit
f(x) = |x − 3| − |x + 1| und g(x) = | |x − 2| − 2| . |
Hallo,
zu dieser Aufgabe hätte ich ein paar Fragen:
zu a) Ich weiß, dass ich hier ne Fallentscheidung durchführen muss. Ich weiß aber nicht, wie ich auf die einzugrenzenden Bereiche kommen soll. In der Übung hatten wir bei einer anderen Aufgabe erst einmal die Ungleichung skizziert, um die Bereiche einschätzen zu können. Wenn ich nur einen Betrag hätte, wäre ich mir ja auch sicher, wie ich das zeichnen muss, aber mit den zwei Beträgen und der 2 vor dem ersten Betrag bin ich leider Gottes überfragt...
Meine Frage also: Wie komme ich auf die einzugrenzenden Bereiche und wie sähe die Funktion aus?
Wären diese einzugrenzenden Kriterien -2 und +2? Also [mm] x\le-2, [/mm] -2<x<2 und [mm] x\ge2?
[/mm]
zu b) Wie schon bei a) gesagt, weiß ich nicht, wie ich diese Funktionen aufzeichnen soll. Solche Sachen haben wir in der Schule nie behandelt...
Wäre sehr froh über eure Hilfe!:)
Grüße,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 Di 15.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Silestius und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
skizziere dir die 2 Summanden einzeln, dann addier sie.
oder ueberlege wann ist x+2>0 und x-2>0 da kannst du beide Betraege weglassen.
dann wo sind beide <0 da kannst du beide durch das negative ersetzen und dann die Betragstriche weglassen.
dann wo ist einer kleiner 0 der andere>0 entsprechend von einem das negative und vom anderen das positive.
Versuchs erstmal so.
die 2 vor dem betrag kannst du einfach zu |2x-4| aendern, wenn dir das leichter faellt.
Gruss leduart
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> Hallo Silestius und
>
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Danke!:)
> skizziere dir die 2 Summanden einzeln, dann addier sie.
Vermutlich ne blöde Frage: Wie soll ich die zwei skizzierten Summanden addieren? Einzeln bilden sie ja ein nach oben geöffnetes Dreieck, wenn ich das mal so laienhaft sage. Oder?
Oder meinst du einfach beide addieren und dann erneut skizzieren?
> oder ueberlege wann ist x+2>0 und x-2>0 da kannst du beide
> Betraege weglassen.
> dann wo sind beide <0 da kannst du beide durch das
> negative ersetzen und dann die Betragstriche weglassen.
Mit dem negativen meinst du 2-x<0 und x+2<0? oder -x-2<0 und -x+2<0?
> dann wo ist einer kleiner 0 der andere>0 entsprechend von
> einem das negative und vom anderen das positive
> Versuchs erstmal so.
> die 2 vor dem betrag kannst du einfach zu |2x-4| aendern,
> wenn dir das leichter faellt.
> Gruss leduart
Die säh dann aber nicht mehr nur so aus wie |x-2| ne?
Tut mir leid, wenn das blöde Fragen bin, aber ich war in Mathe noch nie wirklich gut, auch wenn mir Mathe immer Spaß gemacht hat. Und in der Uni bekommt man ja nun nicht so viel erklärt, schon gar nicht so persönlich.^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Di 15.09.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo Silestius und
> >
> >
> Danke!:)
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> > skizziere dir die 2 Summanden einzeln, dann addier sie.
> Vermutlich ne blöde Frage: Wie soll ich die zwei
> skizzierten Summanden addieren? Einzeln bilden sie ja ein
> nach oben geöffnetes Dreieck, wenn ich das mal so
> laienhaft sage. Oder?
> Oder meinst du einfach beide addieren und dann erneut
> skizzieren?
Hallo,
"addieren" war etws sehr allgemein ausgedrückt, bei |x − 3| − |x + 1| muss man natürlich subtrahieren.
Ein Beispiel: |x-3| hat a der Stelle x=5 den Funktionswert 2, und |x+1| hat an der Stelle 5 den Funktionswert 6. Also hat |x − 3| − |x + 1| an der Stelle x=5 den Funktionswert 2-6, das ergibt -4.
Das solltest du nun nicht nur für die Stelle x=5, sondern auch an anderen Stellen berechnen.
Einigie wenige Stellen reichen aus, weil die Addition oder Subtraktion von linearen Funktionen wieder eine lineare Funktion ergibt. Spannend wird es nur in dem Bereich, in dem die Graphen ihre "Knicke" haben. Der Bereich zwischen 3 und -1 verdient also besondere Beachtung. Außerhalb davon genügen ein bis zwei Punkte.
Gruß Abakus
>
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> > oder ueberlege wann ist x+2>0 und x-2>0 da kannst du beide
> > Betraege weglassen.
> > dann wo sind beide <0 da kannst du beide durch das
> > negative ersetzen und dann die Betragstriche weglassen.
> Mit dem negativen meinst du 2-x<0 und x+2<0? oder -x-2<0
> und -x+2<0?
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> > dann wo ist einer kleiner 0 der andere>0 entsprechend von
> > einem das negative und vom anderen das positive
> > Versuchs erstmal so.
> > die 2 vor dem betrag kannst du einfach zu |2x-4|
> aendern,
> > wenn dir das leichter faellt.
> > Gruss leduart
> Die säh dann aber nicht mehr nur so aus wie |x-2| ne?
>
> Tut mir leid, wenn das blöde Fragen bin, aber ich war in
> Mathe noch nie wirklich gut, auch wenn mir Mathe immer
> Spaß gemacht hat. Und in der Uni bekommt man ja nun nicht
> so viel erklärt, schon gar nicht so persönlich.^^
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> Hallo,
> "addieren" war etws sehr allgemein ausgedrückt, bei |x
> − 3| − |x + 1| muss man natürlich subtrahieren.
> Ein Beispiel: |x-3| hat a der Stelle x=5 den Funktionswert
> 2, und |x+1| hat an der Stelle 5 den Funktionswert 6. Also
> hat |x − 3| − |x + 1| an der Stelle x=5 den
> Funktionswert 2-6, das ergibt -4.
> Das solltest du nun nicht nur für die Stelle x=5, sondern
> auch an anderen Stellen berechnen.
> Einigie wenige Stellen reichen aus, weil die Addition oder
> Subtraktion von linearen Funktionen wieder eine lineare
> Funktion ergibt. Spannend wird es nur in dem Bereich, in
> dem die Graphen ihre "Knicke" haben. Der Bereich zwischen 3
> und -1 verdient also besondere Beachtung. Außerhalb davon
> genügen ein bis zwei Punkte.
> Gruß Abakus
Müsste das nicht zwischen -1 und -3 sein? Die Funktion lautet ja: f(x)=|x-3|-|x+1|?
Ich hab jetzt auch ein paar Werte ausgerechnet. x=3, 4 und 5 =-4; x=2=-2; x=1=0; -x=1=4 und dann weiter 4. Müsste doch eigentlich stimmen, oder?
Wenn ich aber die beiden Summanden skizziert habe, ist der erste ja nach -3 auf der x-Achse verschoben und der zweite nach -1, oder nicht? Oder liegt der zweite nach +1 verschoben?
Und die Graphen müssten doch nach oben geöffnet sein, oder? Also Dreiecke?
Ach, ich knobel ja gerne rum, aber irgendwie sind meine Versuche in Mathe nie von Erfolg gekrönt...
zu Aufgabe a) nochmal: (Aufgabe war: [mm] 2|x-2|+|x+2|\le8)
[/mm]
>skizziere dir die 2 Summanden einzeln, dann addier sie.
>oder ueberlege wann ist x+2>0 und x-2>0 da kannst du beide Betraege weglassen.
>dann wo sind beide <0 da kannst du beide durch das negative ersetzen und dann die Betragstriche weglassen.
>dann wo ist einer kleiner 0 der andere>0 entsprechend von einem das negative und vom anderen das positive.
>Versuchs erstmal so.
>die 2 vor dem betrag kannst du einfach zu |2x-4| aendern, wenn dir das leichter faellt.
Ich hab mich da mal ran gesetzt und erst einmal versucht, die beiden Summanden zu skizzieren. Ist es richtig, dass die sich bei y=2 treffen bzw schneiden und somit ein Dreieck zwischen x=-2 und 2 sowie y=2 einschließen? Oder hab ich die falsch aufgezeichnet?
Muss ich diese x-2>0 und x+2>0 einzeln berechnen oder in die Funktion halt ohne Beträge einfügen und dann jeweils x errechnen? Und das gleiche für x<0?
Da käme bei mir bei x>0 [mm] \bruch{10}{3} [/mm] raus und bei x<0 -2, wobei sich da das [mm] \le [/mm] zu [mm] \ge [/mm] änderte.
Soll ich dann jetzt noch errechnen, was passiert, wenn der eine Summand >0 und der andere <0 ist? Oder bin ich da total auf dem Holzweg? (bei mir sehr wahrscheinlich^^)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mi 16.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) zeichnen: zeichne die Gerade y=2x-4, spiegle das negative Stueck an der x-achse. Schnittpkt mit y Achse war -4 ist dann +4, die "ecke entsteht bei x-2=0 also bei x=2
zeichne y==x+2, spiegle den neg Teil an der x Achse. Ecke also bei x=-2
Addieren der 2 Geraden: an den Nullstellen von einer einfach der Punkt auf der anderen. von da aus gehts mit der Summe der Steigungen weiter. zur kontrolle jeweils noch einen Punkt links und rechts der Nst. einzeln ausrechnen.
Dass sie sich in (0,2) treffen ist also falsch, da hast du die 2 weggelassen.
ich haeng ausnahmsweise nen Bildchen dran (mit geogebra hergestellt, ein Umsonst programm, das sehr nuetzlich ist)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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