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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Ungleichung m. gesuchter Menge
Ungleichung m. gesuchter Menge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung m. gesuchter Menge: Menge der kom.Z. für die gilt:
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Mi 02.04.2008
Autor: torstenM

Aufgabe
Gesucht ist die Menge der komplexen Zahlen für die gilt:

[mm] \left| z^{-2} \right|\ \le\ \bruch{1}{4} [/mm]

[mm] \operatorname{z = x + jy} [/mm]

[mm] x,y\in\IR\quad z\in\IC [/mm]

Ich habe leider garkeine Ahnung wie ich an die Aufgabe herangehen soll, könnte mir jemand einen Tipp geben???

Liebe Grüße,
Torsten

P.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ungleichung m. gesuchter Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mi 02.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Torsten,

vllt. hilft dir für die Vereinfachung des Ausdrucks weiter, dass gilt:

[mm] $|z^m|=|z|^m$ [/mm] und [mm] $w^{-n}=\frac{1}{w^n}$ [/mm]

Das benutze mal und verwende dann die Definition des Betrags einer Komplexen Zahl...

Dann denke mal an Kreisgleichungen...


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Ungleichung m. gesuchter Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Mi 02.04.2008
Autor: torstenM

Danke, also deine beiden Tipps kannte ich ja schon, wäre schlimm wenn ich das nicht wissen würde ;)

Wäre die Zahl nicht komplex sondern Real dann wäre das Ergebnis für mich klar, wäre meiner Meinung nach erfüllt für alle z außerhalb des Intervall [-2..2]

Ich komme nur mit dem komplexen nicht zurecht, ich würde jetzt denken, dass der Imaginärteil null sein muss, also alle vielfachen von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] oder?

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung m. gesuchter Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mi 02.04.2008
Autor: Somebody


> Danke, also deine beiden Tipps kannte ich ja schon, wäre
> schlimm wenn ich das nicht wissen würde ;)
>  
> Wäre die Zahl nicht komplex sondern Real dann wäre das
> Ergebnis für mich klar, wäre meiner Meinung nach erfüllt
> für alle z außerhalb des Intervall [-2..2]

[ok] Aber in der komplexen Ebene sind die $z$, die der Bedingung [mm] $2\leq [/mm] |z-0|$ genügen, eben diejenigen $z$, die von $0$ einen Abstand [mm] $\geq [/mm] 2$ haben, also die Punkte auf oder ausserhalb des Kreises mit Radius $2$ und Mittelpunkt $0$.


Bezug
                                
Bezug
Ungleichung m. gesuchter Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Mi 02.04.2008
Autor: torstenM

Ok, danke erstmal, mit der bildlichen Vorstellung ist das ganze etwas klarer geworden...

Ich habe bis jetzt folgendes gemacht:

[mm] \bruch{1}{\left|z^{2}\right|}\leq\bruch{1}{4} [/mm]

[mm] \left|z^{2}\right|\geq4 [/mm]

[mm] \left|z\right|\geq \pm2 [/mm]

Daher für z>0 :
[mm] z\geq2 [/mm]

Und z<0 :
[mm] z\leq-2 [/mm]

Bis hierhin weiß ich meinen Weg mathematisch zu formulieren, doch dann weiß ich nicht weiter...

z = x +jy
wobei x dann auerhalb des Intervalls ]2;-2[ und y [mm] \in \IR [/mm] richtig?
doch wie formuliere ich das ganze mathematisch, so dass es vom Dozenten akzeptiert wird?
Sind meine vorhergehenden formulierungen korrekt?

Liebe Grüße,
Torsten

Bezug
                                        
Bezug
Ungleichung m. gesuchter Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mi 02.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

z ist doch eine komplexe Zahl, da gibt nix mit z>2 oder z<-2

Auf [mm] $\IC$ [/mm] gibt's keine Anordnung.

Ich hatte doch in meiner ersten Anzwort die Tipps schon hingeschrieben

Du hast richtig umgeformt bis [mm] $|z^2|\ge [/mm] 4$

Dann der Tipp [mm] $|z^m|=|z|^m$ [/mm]

Das gibt [mm] $\red{|z|}^2\ge [/mm] 4$

Dann wie oben gesagt die Definition des Betrages einer komplexen Zahl $z=x+iy$ benutzen:

Das gibt: [mm] $\left[\red{\sqrt{x^2+y^2}}\right]^2\ge [/mm] 4$

Also [mm] $x^2+y^2\ge 4=2^2$ [/mm] - und das ist doch ne Kreis(un)gleichung

Also genau das äußere des Kreises (einschließlich Rand), den Somebody schon angesprochen hat

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Ungleichung m. gesuchter Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Mi 02.04.2008
Autor: torstenM

Achso, ok!

Vielen Dank für die guten und schnellen Antworten!!!
Ich hatte deinen ersten Tipp anders verstanden, bzw. nicht so verwendet...

Liebe Grüße,
Torsten

Bezug
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