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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Ungleichung mit 2 Variablen
Ungleichung mit 2 Variablen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mo 26.10.2009
Autor: S11m00n

Aufgabe
Zeige die folgende Ungleichung für alle reellen Zahlen [mm]x\ge0[/mm] und alle natürlichen Zahlen [mm]n \ge 2[/mm].

[mm](1+x)^n > \bruch{n^2}{4} * x^2[/mm]

Hallo,

ich hatte vor dieses Problem mittels Vollständiger Induktion zu lösen. In diesem Fall weiß ich jedoch nicht ob ich n oder x oder beide im IS erhöhen soll.

Ich habe auch bereits alle drei Fälle mehrfach ausprobiert aber eine Lösung ist nicht in Sicht. Ich finde im Induktionsschritt nirgendwo eine Induktionsvoraussetzung wieder.

Hier mal ein Anfang:

IA: n=2

[mm](1+x)^2 > \bruch{2^2}{4} * x^2[/mm]
[mm]\gdw(1+x)^2 > \bruch{2^2}{4} * x^2[/mm]
[mm]\gdw x^2 + 2x + 1 > x^2[/mm]

IS: [mm]n \Rightarrow n+1[/mm]

[mm](1+x)^{n+1} > \bruch{(n+1)^2}{4} * x^2[/mm]

Alle von mir ab diesem Schritt gemachten Umformungen haben nichts gebracht.

Danke für Hinweise

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: binomischer Lehrsatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Mo 26.10.2009
Autor: Loddar

Hallo S11m00n,

[willkommenmr] !!


Vorneweg: eine Induktion macht immer nur Sinn für diskrete Variablen wie z.B. das $n_$ , da es stets eine natürlich Zahl ist.


Speziell Deine Aufgabe macht wenig Sinn mittels Induktion.

Wende mal auf den Term [mm] $(1+x)^n$ [/mm] den []binomischen Lehrsatz (zumindest die ersten Glieder) an und schätze dann ab.


Gruß
Loddar


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Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mo 26.10.2009
Autor: S11m00n

Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe mir gerade mal deinen Link durchgelesen und hab das Ganze auch mal versucht. Ich muss aber leider sagen, dass mich das kein Stück weitergebracht hat.

Welche Möglichkeit gibt es denn da etwas Sinnvolles abzuschätzen?

Ist vielleicht noch ein anderer Lösungsweg denkbar?

Bezug
                        
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Ungleichung mit 2 Variablen: erste Glieder aufschreiben
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Mo 26.10.2009
Autor: Loddar

Hallo S11m00n!


Schreibe doch einfach mal die ersten Glieder auf:

[mm] $$(1+x)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*x^{n-k} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Mo 26.10.2009
Autor: MatheNewb

Hi,

ich hab das jetzt so gemacht:

[mm] (1+x)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k} [/mm]  = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}\summe_{k=0}^{n}x^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k}\cdot{}2^{n} [/mm]

ist das so richtig? Wie kann ich weiter machen?

MFG

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Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Mo 26.10.2009
Autor: reverend

Hallo,

ist das jetzt eine Anfrage eines zweiten neuen Mitglieds, oder hast Du nur noch einen zweiten Nick angelegt, Simon?

> Hi,
>  
> ich hab das jetzt so gemacht:
>  
> [mm](1+x)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}[/mm]  =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}\summe_{k=0}^{n}x^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}x^{k}\cdot{}2^{n}[/mm]
>  
> ist das so richtig? Wie kann ich weiter machen?

Nein, das ist nicht richtig. Setz mal x=1 ein, und wenn Du unbedingt ein n brauchst, nimm z.B. 3, oder 5...

Allgemein: ist [mm] 2^n=(n+1)2^n, [/mm] außer für n=0 ?

lg,
reverend


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Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:22 Di 27.10.2009
Autor: MatheNewb

Danke für deine Antwort.
Ne, bin ein neues Mitglied.
so hab das jetzt so gemacht:

= [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k} [/mm] > [mm] \summe_{k=0}^{n} x^{k} [/mm] > [mm] \bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2 [/mm]

geht das so?!??!?!
Falls das wieder falsch ist, bitte ich um einen Tipp.

Bezug
                                                        
Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: siehe oben!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:25 Di 27.10.2009
Autor: Loddar

Hallo MatheNewb,

[willkommenmr] !!


Wie kommst Du auf die letzte Abschätzung?

Wie ich oben schon schrieb: einfach mal die ersten Glieder der Summe für [mm] (1+x)^n$ [/mm] notieren ...


Gruß
Loddar


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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:33 Di 27.10.2009
Autor: MatheNewb

Danke für deine Antwort, aber sorry das ich das nich verstehe

also [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}= \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{} [/mm] + ... + [mm] \vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{} [/mm]

?

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Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:36 Di 27.10.2009
Autor: Loddar

Hallo MatheNewb!


[ok] Und nun mal diese Binomialkoeffizienten ausrechnen; dann sollte die Behauptung schnell klar werden.


Gruß
Loddar


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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:20 Di 27.10.2009
Autor: MatheNewb

danke danke :D ich glaub ich habs

also [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}=\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}+\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}+...+\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{} [/mm]

ergibt [mm] \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}=1 [/mm]
[mm] \vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}=n\cdot{}x [/mm]
[mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{}=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2} [/mm]
[mm] \vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}=x^{n} [/mm]

und daraus folgt man ?!

[mm] \bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2 [/mm]
und wenn man es kürzt sich
[mm] n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2} [/mm]

ist das jetzt so richtig?

MFG

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Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:13 Di 27.10.2009
Autor: fred97

Für x [mm] \ge [/mm] 0 und n [mm] \ge [/mm] 2 ist



[mm] $(1+x)^n= \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k} [/mm] $ > [mm] $\vektor{n\\2}x^2=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2} [/mm]  $

Warum ist nun [mm] \vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}-n}{2} [/mm] ?

FRED

Bezug
                                                                                                
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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Di 27.10.2009
Autor: MatheNewb

Oh da ist ein Schreibfehler

nicht [mm] n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2} [/mm] , sondern [mm] n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2} [/mm]

>  
> Warum ist nun [mm]\vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}-n}{2}[/mm] ?
>  
> FRED

versteh ich nicht?!


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Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Di 27.10.2009
Autor: fred97


> Oh da ist ein Schreibfehler
>  
> nicht [mm]n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm] , sondern
> [mm]n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]
>  
> >  

> > Warum ist nun [mm]\vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}-n}{2}[/mm] ?
>  >  
> > FRED
>
> versteh ich nicht?!

Pardon, da hatte ich mich verschrieben. Die Frage lautet:

                  Warum ist nun [mm]\vektor{n\\2} \ge \bruch{n^{2}}{4}[/mm] ?

FRED

>  


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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:01 Mi 28.10.2009
Autor: melisa1

Hallo;

ich habe die selbe Aufgabe und versteh nicht so ganz was hier gemacht wurde.

Also bis hier > > also [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}=\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}+\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}+...+\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}[/mm]

>  
> ergibt [mm]\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}=1[/mm]
>  [mm]\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}=n\cdot{}x[/mm]
> [mm]\vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{}=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}[/mm]
>  
> [mm]\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{}=x^{n}[/mm]

Ist es für mich noch verständlich aber.....

  

> und daraus folgt man ?!
>  
> [mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]
>  
> und wenn man es kürzt sich
>  [mm]n^{2}-2\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]


ab hier versteh ich nichts mehr....soll ich da einfach ein Glied aussuchen und gucken ob er kleiner als [mm] \bruch{1}{4}n^2*x^2 [/mm] ist oder wie kommt man jz auf

[mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]


Ich würde mich freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen kann

Liebe Grüße
Melisa

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Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:14 Mi 28.10.2009
Autor: stk66

Du hast die folgende Summe: $ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}=\vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{}+\vektor{n \\ 1} \cdot{}x^1{}+...+\vektor{n \\ n} \cdot{}x^n{} [/mm] $ , die aus einzelnen Summanden besteht.
Einer dieser Summanden, nämlich der für k=2, ist $ [mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{}=\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2} [/mm] $.
Also ist die gesamte Summe echt grösser als dieser eine Summand für k=2. (sollte offensichtlich sein, weil keiner der übrigen Summanden negativ sein kann)
Wenn man jetzt zeigen kann, dass dieser eine Summand [mm] \vektor{n \\ 2} \cdot{}x^2{} [/mm] grösser oder gleich dem ist, was in der Aufgabe auf der rechten Seite steht, nämlich [mm] \bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2, [/mm] dann muss die zu zeigende Behauptung gelten.

Bezug
                                                                                                        
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Ungleichung mit 2 Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:26 Mi 28.10.2009
Autor: melisa1

Hallo:

ok klar war echt ne dumme Frage von mir :D


danke danke


Lg Melisa

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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Mi 28.10.2009
Autor: andy1986

Guten Morgen zusammen!

wie kommt man denn auf [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}-n}{2} [/mm]

?

Mich würde der Rechenweg interessieren...

MfG
Andy

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Ungleichung mit 2 Variablen: Binomialkoeffizient
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mi 28.10.2009
Autor: Loddar

Hallo Andy!


Hier wurde die Definition des []Binomialkoeffizienten angewandt.

Es gilt:
[mm] $$\vektor{n\\2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n-1)}{1*2} [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


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Ungleichung mit 2 Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:33 Mi 28.10.2009
Autor: andy1986

ah ja natürlich!

Vielen Dank!

Bezug
                                                                                        
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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:23 Do 29.10.2009
Autor: melisa1

Hallo;
  

> [mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]
>  
> und wenn man es kürzt sich
>  [mm]n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]
>  

ist die Aufgabe jz damit bewiesen oder benötige ich noch einen schritt?

LG Melisa

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Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Do 29.10.2009
Autor: abakus


> Hallo;
>    
> > [mm]\bruch{n^{2}-n}{2}\cdot{}x^{2}\ge\bruch{n^2}{4} \cdot{} x^2[/mm]
>  
> >  

> > und wenn man es kürzt sich
>  >  [mm]n^{2}-n\ge\bruch{n^{2}}{2}[/mm]
>  >  
> ist die Aufgabe jz damit bewiesen oder benötige ich noch
> einen schritt?
>  
> LG Melisa

Hallo,
für n=0 und n=1 ist diese Aussage noch falsch. Sie gilt erst ab n=2.
Da hast du schon noch etwas zu tun...
Gruß Abakus

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Do 29.10.2009
Autor: melisa1

Hallo;


ja ich muss noch sagen, dass dies gilt, weil alle Summaden nichtnegativ sind oder?

Lg Melisa

Bezug
                                                                                                                
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Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 29.10.2009
Autor: abakus


> Hallo;
>  
>
> ja ich muss noch sagen, dass dies gilt, weil alle Summaden
> nichtnegativ sind oder?

Du musst beweisen, dass diese Ungleichung für alle n ab n=2 gilt.

>  
> Lg Melisa


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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage dazu
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Di 27.10.2009
Autor: stk66

Wie kommt Ihr dazu das n-k im Exponenten des binomischen Lehrsatzes einfach zu k umzuwandeln? Könntet Ihr mir die Umformung erläutern?

Bezug
                                                                                
Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Di 27.10.2009
Autor: MatheNewb

Hi,
klar kann ich machen also,
der binomische Lehrsatz =
[mm] (x+y)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}\cdot{}y^{k} [/mm]

und jetzt setze für x=1 ein und für y=x, dann hast du nur noch [mm] x^{k} [/mm] stehen, da [mm] 1^{n-k}=1 [/mm] ist.....

davor hat er x=x und y=1 gehabt!

MFG

Bezug
                                                                        
Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Mi 28.10.2009
Autor: melisa1

Hallo;

der Binomische Lehrsatz lautet doch:

$ [mm] (1+x)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}y^k [/mm] \ = \ ... $

ich versteh nicht warum da:$ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}= \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{} [/mm] $......usw stehen muss wo ist das y und muss da nicht immer n-k stehen also  hier im ersten Glied dann [mm] x^{n-0} [/mm] im zweiten dann [mm] x_{n-1} [/mm] usw.?


Lg Melisa

Bezug
                                                                                
Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Mi 28.10.2009
Autor: abakus


> Hallo;
>  
> der Binomische Lehrsatz lautet doch:
>  
> [mm](1+x)^n \ = \ \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{n-k}y^k \ = \ ...[/mm]
>  
> ich versteh nicht warum da:[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}\cdot{}x^{k}= \vektor{n \\ 0} \cdot{}x^0{} [/mm]......usw
> stehen muss wo ist das y und muss da nicht immer n-k stehen
> also  hier im ersten Glied dann [mm]x^{n-0}[/mm] im zweiten dann
> [mm]x_{n-1}[/mm] usw.?

Hallo,
dein "y" ist doch hier 1 (und [mm] 1^n, 1^{n-1}... 1^0 [/mm] ergibt jweils einfach nur den Faktor 1.
Gruß Abakus

>  
>
> Lg Melisa


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Ungleichung mit 2 Variablen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:07 Di 03.11.2009
Autor: ehle

Wie würde es aussehen wenn auf der rechten Seite noch der Term +1 hinzukäme?

Ich verstehe alles bis zu dem Punkt wo die rechte Seite wie gesagt noch um 1 erhöht wird. Dann ist stimmt die Ungleichung nicht mehr, ist das der Fall oder liesse sich das auch lösen..?

vielen dank

Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit 2 Variablen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Do 05.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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