Ungleichung mit Beträge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 So 17.02.2008 | | Autor: | celimaus |
| Aufgabe | Die Lösungsmenge der Ungleichung − x² + 9 ≤ 3x + 5 ist zu
berechnen. |
Ich habe nun mal versucht das ganze zu lösen:
Fall 1) 3x+5≤0 --> -5/3
-x²+9≤-3x-5
-x²+3x+14≤0
Fall 2) 3x+5 >0 --> -5/3
-x²+9≤3x+5
-x²-3x+4≤0
Ich habe ja mittlerweile verstanden, dass man bei einem Betrag Fälle unterscheiden muss. Bei zwei Beträgen sind es dann 4 Fälle usw...
Aber jetzt hab ich es auch noch mit einer quadratischen Gleichung zu tun. Wir haben soetwas noch nicht direkt im Unterricht gemacht. Deswegen weiß ich jetzt nicht weiter.
Welche L1 und L2 kommt den da raus? Muss ich da einfach nur die Nullstellen ausrechnen? Habe leider auch keine Lösung dazu, da dies ein Testbeispiel von einer Klasse über mir war.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Lg. celimaus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sabrina,
hier kannst du es dir einfacher machen, forme die Ungleichung zunächst einmal um:
[mm] $-x^2+9 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 3x+5$ [mm] $\qquad \qquad \mid [/mm] -3x-5$ auf beiden Seiten
[mm] $\gdw -x^2-3x+4 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 0$ [mm] $\qquad \qquad \mid \cdot{}(-1)$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2+3x-4 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Achtung: Bei Multiplikation (oder Division) mit (durch) negative(n) Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um
Nun den Term [mm] $x^2+3x-4$ [/mm] faktorisieren (mit p/q-Formel, Satz von Vieta oder wie immer du magst) [Nullstellen bestimmen]
[mm] $\gdw (x-1)\cdot{}(x+4) [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Und hier kannst du deine Fallunterscheidung relativ bequem ansetzen.
Wann ist ein Produkt denn [mm] \ge [/mm] 0?
Doch wenn entweder beide Faktoren [mm] \ge [/mm] 0 sind ODER beide Faktoren [mm] \le [/mm] 0 sind
Kommst du damit weiter?
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 Mo 18.02.2008 | | Autor: | celimaus |
so ich habe jetzt mal die Nullstellen mit der großen Formel ausgerechnet.
x1=1
x2=-4
Bei der Fallunterscheidung kann das ganze ja größer als 0 sein oder =0
dh. es muss 4 Fälle geben
1Fall (x-1)>0 -> x >1 und (x+4)>0 -> x>-4
2Fall (x-1)=0 -> x=1 und (x+4)=0 -> x=-4
3Fall (x-1)<0 -> x<1 und (x+4)>0 -> x>-4
4Fall (x-1)>0 -> x>1 und (x+4)<0 -> x<-4
Hmm, so habe ich es jetzt immer gemacht wenn ein Betragszeichen dabei war. Aber wie soll ich den zur Lösungsmenge kommen wenn ich dann das ganze auch ausrechnen soll. Und da ist mir wieder das Quadrat im weg.
dh. ich komm trotz Hilfe noch immer nicht weiter :(
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Hallo nochmal,
du benötigst im Grunde genommen nur 2 Fälle, oder, wenn du's ganz ausführlich machst und den Fall =0 separat betrachtest 3 Fälle
Dein 3. und 4.Fall kommen doch gar nicht in Betracht.
Wenn der eine Faktor des Produktes >0 und der andere Faktor <0 ist, dann ist doch das Produkt auf jeden Fall <0
Hier ist doch zu untersuchen, wann das Produkt $(x-1)(x+4) [mm] \red{\ge} [/mm] 0$ ist
Das klappt nur, wenn beide Faktoren $x-1$ UND $x+4$ [mm] \ge [/mm] 0 sind
ODER beide Faktoren $x-1$ UND $x+4$ [mm] \le [/mm] 0 sind
Wenn du den Fall =0 separat betrachten willst, ist die Fallunterscheidung:
1.Fall: x-1>0 UND x+4>0
2.Fall: x-1<0 UND x+4<0
3.Fall: x-1=0 ODER (!!) x+4=0
es kann ja im 3.Fall nicht x gleichzeitig 1 und -4 sein 
Zur Lösungsmenge:
Im 1.Fall - das hattest du schon ganz richtig herausbekommen - muss x>1 UND x>-4 sein.
Welche x erfüllen das denn? Male dir mal nen Zahlenstrahl hin, wenn du's so nicht siehst. Male dort rein, welche x>1 sind und welche x>-4 sind, dort, wo es sich überschneidet, ist BEIDES erfüllt
Um es nochmal zu betonen, du kannst wirklich den 3. Fall mit in die anderen beiden Fälle reinnehmen, das spart dir (Schreib-)Arbeit
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mo 18.02.2008 | | Autor: | celimaus |
| Aufgabe | Die Lösungsmenge der Ungleichung − x2 + 9 ≤ |3x + 5| ist zu
berechnen. |
Jetzt sehe ich erst, dass bei der Frage am Anfang der Betragstrich nicht mitkopiert wurde.
Aber wenn kein Betragstrich wäre, ist dann die L=[-4,1]
Jetzt verstehe ich auch warum der 3Fall nicht notwendig ist, weil es bereits bei Fall1, und Fall2 integriert ist. Laut Zahlenstrahl überschneit sich das ganze bei -4 bis 1. Ist daher das ganze auch ein geschlossenes Interval oder offen? es heißt ja größer gleich 1 bei Fall 1 und kleiner gleich -4 bei Fall 2.
Wenn ich jetzt also noch den Betragstrich berücksichtigen muss, dann muss ich ja die Gleichung einmal
so − x2 + 9 ≤ 3x + 5 und einmal so − x2 + 9 ≤ -3x - 5 betrachten.
die erste haben wir ja schon bearbeitet die zweite hat ja dann auch zwei fälle nach den Umformen. Wenn ich dann dort die Lösung heraushabe, muss ich die Gesamtlösung über den Zahlenstrahl angführen.
oder gibt es da eine Abkürzung?
Lg. Sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Mo 18.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das einfachst ist bei so Ungleichungen immer, du machst ne Skizze.
d.h. du zeichnest die linke Seite und die rechte Seite.
bei Betrag musst du einfach das, was unter die x-Achse geht nach oben spiegeln.
Dann kannst du direkt ablesen, wo die eine fkt unter der anderen liegt.
du siehst also hier z. Bsp dass für die Aufgabe ohne Betrag, du die Lösungsmenge genau falsch hattest! in deinem Intervall liegt die Parabel über, nicht unter der Geraden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du die Skizze hast, kannst du daran deine Fallunterscheidungen direkt ablesen, hier für x>-5/3 und x<5/3
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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