Ungleichung mit Binomialsatz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | A1.) Sei $n [mm] \in \IN$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $n^n \geq (n+1)^{n-1}$ [/mm] gilt. (Hinweis: Binomialsatz) |
Hallo zusammen,
bin gerade dabei obige Aufgabe zu lösen, tue mich aber verdammt schwer.
Ich will im Grunde zeigen, dass [mm] $n^n [/mm] - [mm] (n+1)^{n-1} \geq [/mm] 0$ ist, wenn ich jetzt den Binomialsatz einbaue, erhalte ich [mm] $n^n [/mm] - [mm] \sum\limits_{k = 0}^{n-1} [/mm] {n-1 [mm] \choose k}n^k \geq [/mm] 0$ Wie kann ich jetzt am besten umformen um zum gewünschten Ergebnis zu gelangen?
Grüße
Joe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 So 01.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo joe!
Es gilt:
[mm]\sum\limits_{k = 0}^{n-1} {n-1 \choose k}*n^k \ = \ \vektor{n-1\\0}*n^0+\vektor{n-1\\2}*n^1+\vektor{n-1\\2}*n^2+...+\vektor{n-1\\n-1}*n^{n-1}[/mm]
Das sind insgesamt [mm]n_[/mm] Summanden, die sich alle abschätzen lassen mit [mm]\le \ n^{n-1}[/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 So 01.12.2013 | | Autor: | JoeSunnex |
Hallo Loddar,
danke dir für deine Antwort, jetzt ergibt das alles viel mehr Sinn und ich habe versucht direkte Termumformungen zu machen, was irgendwann nicht mehr schön war :)
Grüße
Joe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 So 01.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> A1.) Sei [mm]n \in \IN[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]n^n \geq (n+1)^{n-1}[/mm]
> gilt. (Hinweis: Binomialsatz)
ist vielleicht nicht im Sinne des Erfinders der Aufgabe, aber
[mm] $n^n \ge (n+1)^{n-1}$ $\iff$ [/mm] $n+1 [mm] \ge \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\,.$
[/mm]
Für [mm] $n=1,2\,$ [/mm] rechnet man dann die behauptete Ungleichung einfach nach
(oder die rechte Ungleichung, sie impliziert ja stets die Behauptung), der
Rest wird quasi trivial, wenn man sich mit den Folgen
[mm] $((1+1/n)^n)_n$ [/mm] und [mm] $((1+1/n)^{n+1})_n$
[/mm]
etwas befasst hat (und damit insbesondere $2 [mm] \le e:=\lim (1+1/n)^n \le [/mm] 3$ weiß).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | A6.) Zeigen Sie, dass die durch [mm] $a_n [/mm] := [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] definierte Folge gegen einen Grenzwert $(2, [mm] \infty)$ [/mm] konvergiert. |
Hallo Marcel,
danke dir für deine Antwort auch wenn sie eigentlich schon eine weitere Aufgabe auf dem Übungsblatt hervorruft, aber dann kann ich dir ja gleich die Frage stellen :)
Aufgabe steht oben und ich würde gerne einen Tipp haben wie ich vorgehen sollte, meine Idee wäre zunächst Monotonie zeigen und als Tipp wurde gegeben mir die Reihe [mm] $\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}$ [/mm] anzuschauen, wie ich auf die komme ist einfach wieder Binomialsatz und abschätzen, aber wie komme ich dann auf den Grenzwert zwischen 2 und 4. (EDIT: Ist das Quotientenkriterium für Reihen ein guter Ansatz??) Ich glaube der Trick liegt mit der Potenz n+1, aber ich freue mich über jeden Tipp :)
Grüße
Joe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 01.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Joe,
> A6.) Zeigen Sie, dass die durch [mm]a_n := \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
> definierte Folge gegen einen Grenzwert
da fehlt das Wort "aus"
> [mm](2, \infty)[/mm]
> konvergiert.
>
> Hallo Marcel,
>
> danke dir für deine Antwort auch wenn sie eigentlich schon
> eine weitere Aufgabe auf dem Übungsblatt hervorruft, aber
> dann kann ich dir ja gleich die Frage stellen :)
>
> Aufgabe steht oben und ich würde gerne einen Tipp haben
> wie ich vorgehen sollte, meine Idee wäre zunächst
> Monotonie zeigen und als Tipp wurde gegeben mir die Reihe
> [mm]\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!}[/mm] anzuschauen, wie
> ich auf die komme ist einfach wieder Binomialsatz und
> abschätzen, aber wie komme ich dann auf den Grenzwert
> zwischen 2 und 4. (EDIT: Ist das Quotientenkriterium für
> Reihen ein guter Ansatz??) Ich glaube der Trick liegt mit
> der Potenz n+1, aber ich freue mich über jeden Tipp :)
Mit dem Quotientenkriterium weiß ich nicht, wie Du das benutzen willst.
Generell sagt es ja nur etwas über das Konvergenzverhalten einer Reihe
aus. Der Reihenwert ist dann i.a. eine ganz andere Geschichte.
Was Du auf jeden Fall machen solltest: Zeige, dass [mm] $(a_n)_n= ((1+1/n)^n)_n$ [/mm] monoton
wachsend ist - im Prinzip findest Du den Beweis dazu im Skript. Damit
ist es trivial, dass der Grenzwert der Folge [mm] $(a_n)_n\,,$ [/mm] wenn diese denn
konvergent sein sollte, sicher $> 2$ sein muss:
Berechne dazu mal [mm] $a_2\,,$ [/mm] und dann siehst Du schon: Falls [mm] $g:=\lim a_n$ [/mm] existiert,
dann gilt $g [mm] \ge a_2=9/4 [/mm] > [mm] 2\,.$
[/mm]
Wenn Du nun begründet bekommst, dass [mm] $a_n [/mm] < [mm] 4\,$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dann
hast Du sowohl die Existenz von [mm] $g\,$ [/mm] (warum?) und Du wüßtest auch schonmal
$g [mm] \le 4\,.$ [/mm] Daher solltest Du [mm] $a_n [/mm] < M$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit einem $M < [mm] 4\,$ [/mm]
zu begründen versuchen (welches [mm] $M\,$ [/mm] da geeignet ist, ist momentan noch
absolut unklar).
Ich kenne jetzt eine andere Methode, ich sage nur mal kurz, wie die geht:
Mit [mm] $b_n:=a_n*(1+1/n)=(1+1/n)^{n+1}$ [/mm] zeigt man, dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] monoton
fällt.
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $b_n=a_n*(1+1/n) \ge a_n\,.$ [/mm] Also gilt
[mm] $a_n \le b_1$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Also ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] durch [mm] $b_1=2^2=4\,$ [/mm] nach oben beschränkt.
Das würde für Deine Aufgabe noch nicht reichen, aber: Es gilt auch
[mm] $a_n \le b_2$ [/mm] für alle $n [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
Das würde Dir hier reichen, da [mm] $b_2=1,5^3=3,375$ [/mm] und daher wird auch $g [mm] \le [/mm] 3,375$ sein!
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
So, aber jetzt mal das Ganze mit dem Tipp:
Überlege Dir, dass
${n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \frac{1}{n^k}\;\;\le\;\;\frac{1}{k!}$
[/mm]
gilt.
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist dann
[mm] $a_n=(1+1/n)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}\frac{1}{n^k} \;\;\le\;\;\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \;\;\le\;\;\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=e\,.$
[/mm]
Die Frage ist nur: Wenn ihr [mm] $e=\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ [/mm] setzt, dann solltet
ihr ja auch schonmal irgendwie $e [mm] \in (2,4)\,$ [/mm] bewiesen haben... (im Prinzip
kannst Du das nun auch sofort mit [mm] $\lim (1+1/n)^n=\sum_{k=0}^\infty [/mm] 1/(k!)$ und dann mit der
"Zusatzfolge" [mm] $(b_n)_n$ [/mm] mit
[mm] $b_n=(1+1/n)^n*a_n\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
