Ungleichung mit Exp-Fkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:09 Do 19.07.2012 | | Autor: | ivanhoe |
| Aufgabe | | Löse [mm] (1-a)^m \le \exp(-m a)[/mm] wobei [mm]0 < a < 1[/mm] |
Also, das hier ist das erste Mal, dass ich hier was poste, deswegen entschuldigt Mängel an Form oder dergleichen, ich werd mich in Zukunft bessern ;)
Ich glaub das Porblem ist nicht so schwer, ich weiß dass es stimmt, aber ich hab keine Idee wie ich das zeigen kann.
Ich wär für jede Idee dankbar, ich glaube ich seh inzwischen den Wald vor lauter Bäumen nicht :)
und bevor ichs vergesse:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ivanhoe und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Löse [mm](1-a)^m \le \exp(-m a)[/mm] wobei [mm]0 < a < 1[/mm]
Ist das denn die ganze Aufgabenstellung, oder gibt es da noch einen Originaltext, bzw. einen Kontext, in dem sich dir das Problem stellt?
> Ich glaub das Porblem ist nicht so schwer, ich weiß dass
> es stimmt, aber ich hab keine Idee wie ich das zeigen kann.
Geht es also darum, die Ungleichung zu beweisen?
> Ich wär für jede Idee dankbar, ich glaube ich seh
> inzwischen den Wald vor lauter Bäumen nicht :)
Nun, ein erster Schritt wäre sicherlich, zu logarithmieren. Das zeigt sofort, dass die Ungleichung von m unabhängig ist.
Jetzt hängt es ein wenig davon ab, welche Mittel verwendet werden sollen. Man kann natürlich die logarithmierte Ungleichung mit einer Potenzreihe 'erschlagen'. Aber es geht auch mit schulmathematischen Mitteln:
Betrachte mal die Funktion f(x)=ln(1-x) etwas genauer. Wo ist ihre Tangentensteigung gleich -1?
Gruß, Diophant
PS: Ich habe den Betreff deiner Frage noch abgeändert. Ist das ok?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Do 19.07.2012 | | Autor: | ivanhoe |
erstmal Danke für die freundliche Aufnahme :)
Die Gleichung ist eigentlich Teil von etwas komplizierterem, aber das wunderschön bizarre daran ist, ich hab den schweren Teil nachgerechnet, nur dieser Schritt leuchtet mir noch nicht so richtig ein
ich denk mir, vielleicht hilft eine Fallunterscheidung? ich kann ja schreiben:
[mm] 1 \le \exp(-a) +a [/mm] und mir dann überlegen, wann der rechte Term minimal wird, das wird er entweder, wenn a gegen 0 geht, oder wenn a gegen 1 geht und in beiden Fällen wäre das okay, oder nicht?
ich bin mir aber auch nicht sicher, ob das Sinn macht, die Idee mit der Steigung der Tangente musst du mir nochmal ausführen, ich sehe leider nicht, wohin das gehen soll.
Auf jeden Fall vielen Dank für die schnelle Hilfe. Ist echt super :)
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Hallo ivanhoe,
> erstmal Danke für die freundliche Aufnahme :)
>
> Die Gleichung ist eigentlich Teil von etwas
> komplizierterem, aber das wunderschön bizarre daran ist,
> ich hab den schweren Teil nachgerechnet, nur dieser Schritt
> leuchtet mir noch nicht so richtig ein
>
> ich denk mir, vielleicht hilft eine Fallunterscheidung? ich
> kann ja schreiben:
> [mm]1 \le \exp(-a) +a[/mm] und mir dann überlegen, wann der rechte
> Term minimal wird, das wird er entweder, wenn a gegen 0
> geht, oder wenn a gegen 1 geht und in beiden Fällen wäre
> das okay, oder nicht?
> ich bin mir aber auch nicht sicher, ob das Sinn macht, die
> Idee mit der Steigung der Tangente musst du mir nochmal
> ausführen, ich sehe leider nicht, wohin das gehen soll.
Das brauchst du doch alles nicht.
Schaue dir nochmal Freds Antwort an:
Die Ausgangsungleichung ist äquivalent zu [mm]e^{-a}\ge 1-a[/mm]
Und das ist doch nicht schwer zu zeigen.
Tipp: Reihendarstellung der e-Funktion ...
>
> Auf jeden Fall vielen Dank für die schnelle Hilfe. Ist
> echt super :)
Gruß
schachuzipus
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Hallo ivanhoe,
> ... die Idee mit der Steigung der Tangente musst du mir nochmal
> ausführen, ich sehe leider nicht, wohin das gehen soll.
Das mache ich gerne noch, gestern hat es nicht mehr gereicht. Wie auf dem Bild zu sehen, ist die zweite Winkelhalbierende g: y=-x Tangente an das Schaubild der Funktion f mit f(x)=ln(1-x) im Ursprung, und aus den Monotonie- und Krümmungseigenschaften der Logarithmusfunktion folgt dann insbesondere die Gültigkeit der Ungleichung für alle a<1, wobei Gleichheit genau für a=0 gilt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß, Diophant
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 Fr 20.07.2012 | | Autor: | ivanhoe |
hallo diophant,
vielen vielen Dank^^ ist echt nicht allzu schwer, danke für die extraausführung, mir ist jetzt alles klar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Do 19.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Löse [mm](1-a)^m \le \exp(-m a)[/mm] wobei [mm]0 < a < 1[/mm]
Ich nehme an, dass m [mm] \in \IN [/mm] ist.
Wenn ja, so lässt sich die Ungl. mit Induktion nach m zeigen.
FRED
Edit: ... manchmal ist man wirklich blind !
[mm](1-a)^m \le \exp(-m a)[/mm] [mm] \gdw [/mm] 1-a [mm] \le e^{-a}
[/mm]
>
> Also, das hier ist das erste Mal, dass ich hier was poste,
> deswegen entschuldigt Mängel an Form oder dergleichen, ich
> werd mich in Zukunft bessern ;)
> Ich glaub das Porblem ist nicht so schwer, ich weiß dass
> es stimmt, aber ich hab keine Idee wie ich das zeigen kann.
> Ich wär für jede Idee dankbar, ich glaube ich seh
> inzwischen den Wald vor lauter Bäumen nicht :)
> und bevor ichs vergesse:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Löse [mm](1-a)^m \le \exp(-m a)[/mm] wobei [mm]0 < a < 1[/mm]
neben allen bisherigen Vorschlägen:
Wie Fred schon erklärt hat, ist nur $1-x [mm] \le e^{-x}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] nachzuweisen. Definiere nun die Funktion
[mm] $$f(x):=e^{-x}+x-1$$
[/mm]
für $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Offenbar gilt [mm] $f(0)=0\,,$ [/mm] und wegen [mm] $f\,'(x)=-e^{-x}+1$ [/mm] gilt offenbar, dass [mm] $f\,'(x) \ge [/mm] 0$ auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] ist und dass [mm] $f\,'(x) \le [/mm] 0$ auf [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] ist. Links der [mm] $0\,$ [/mm] fällt also [mm] $f\,$ [/mm] (und zwar auf [mm] $f(0)\,$ [/mm] zu), und rechts der [mm] $0\,$ [/mm] steigt [mm] $f\,.$ [/mm] Daraus folgt die Behauptung.
P.S.
Eine andere Idee, die der Anschauung her rührt, hatte ich auch, aber ich hatte mir noch nicht überlegt, ob es ausreichend ist, das zu zeigen:
Offenbar (durch Berechnung von [mm] $g\,''$ [/mm] etwa) ist [mm] $g(x):=e^{-x}$ [/mm] (streng) konvex. Jetzt finde die Stelle [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $g\,'(x_0)=(1-x)'=-1\,,$ [/mm] also diejenige Stelle, wo die Tangente am Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] die gleiche Steigung hat wie die vorgegebene Gerade $x [mm] \mapsto 1-x\,.$ [/mm] (Wegen "streng konvex" kann es nur eine geben, und Du weißt eigentlich auch schon, dass diese [mm] $x_0=0$ [/mm] ist!)
Dann kann man sich überlegen, was eine Verschiebung dieser Tangente "entlang der zu dieser senkrechten Geraden" bedeutet.
Hier ist es halt so: Verschiebung "nach oben" bedeutet, dass diese verschobene Gerade sofort zwei Schnittpumkte mit dem Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] haben wird.
Damit das ganze ein wenig klarer wird:
Versuche mal, Dir so (rein anschaulich) klarzumachen, dass bzw. warum [mm] $\frac{1}{2}-x \le e^{-x}$ [/mm] gilt - natürlich, ohne $1-x [mm] \le e^{-x}$ [/mm] zu benutzen. Denn damit ist das natürlich eine Trivialität.
Gruß,
Marcel
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