Ungleichung mit Parameter < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 13.01.2013 | | Autor: | pancho |
| Aufgabe | | [mm]x^2-a+2>0[/mm] |
Hallo,
ich möchte die Ungleichung lösen. Ich weiss, dass [mm]a < 2[/mm] sein muss, damit die Ungleichung für alle x aus R lösbar ist.
Bei der formalen Lösung der Aufgabe bleibe ich bei folgender Umformung nach x stecken:
[mm](x > \wurzel{a-2}) \vee (x < -\wurzel{a-2})[/mm]
Hier muss [mm]a \geq 2[/mm] sein.
Ich steh aufm Schlauch, bitte helft mir runter.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm]x^2-a+2>0[/mm]
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> Hallo,
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> ich möchte die Ungleichung lösen. Ich weiss, dass [mm]a < 2[/mm]
> sein muss, damit die Ungleichung für alle x aus R lösbar
> ist.
nein, das ist so nicht ganz richtig. Beachte, dass du eine 'Größer'-Relation hast und nicht 'größer-gleich'.
> Bei der formalen Lösung der Aufgabe bleibe ich bei
> folgender Umformung nach x stecken:
>
> [mm](x > \wurzel{a-2}) \vee (x < -\wurzel{a-2})[/mm]
>
> Hier muss [mm]a \geq 2[/mm] sein.
>
> Ich steh aufm Schlauch, bitte helft mir runter.
Man tut besser daran, bei Ungleichungen die genaue Definition der Quadratwurzelfunktion
[mm]\wurzel{x^2}=|x|[/mm]
zu verwenden, also schreibe
[mm] |x|>\wurzel{a-2}
[/mm]
Aber von der Bedeutung läuft das auf das selbe hinaus.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 So 13.01.2013 | | Autor: | pancho |
Danke für den Tipp. Ich werd das berücksichtigen.
$ [mm] |x|>\wurzel{a-2} [/mm] $
Allerdings bringt mich das nicht weiter. Hier gilt [mm]a \geq 2[/mm]. Das deckt sich aber nicht mit meiner Vermutung [mm]a < 2[/mm]. Also genau das umgekehrte. Irgendwas mache ich falsch. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo pancho,
> Danke für den Tipp. Ich werd das berücksichtigen.
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> [mm]|x|>\wurzel{a-2}[/mm]
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> Allerdings bringt mich das nicht weiter. Hier gilt [mm]a \geq 2[/mm].
> Das deckt sich aber nicht mit meiner Vermutung [mm]a < 2[/mm].
Nun, die Wurzel darfst du für [mm]a-2[/mm] natürlich nur ziehen, wenn [mm]a-2\ge 0[/mm], also [mm]a\ge 2[/mm] ist.
In diesem Falle kannst du den Rechenweg über das Ziehen der Wurzel einschlagen. Und die Lösungen für [mm]x[/mm] sind dann natürlich nicht aus ganz [mm]\IR[/mm], sondern durch die Bed. [mm] $|x|>\sqrt{a-2}$, [/mm] also [mm]x>\sqrt{a-2}[/mm] bzw. [mm]x<-\sqrt{a-2}[/mm] eingeschränkt.
Für den Fall, dass [mm]a<2[/mm] ist, kannst du natürlich nicht die Wurzel ziehen, denn [mm]a-2<0[/mm]
Aber [mm]x^2[/mm] ist eh stets nicht-negativ, also [mm]x^2>0>a-2[/mm] ist stets, also für alle [mm]x\in\IR[/mm], erfüllt. Und damit natürlich auch [mm] $x^2-a+2>0$
[/mm]
Die Lösungsmenge hängt also vom Parameter a ab ...
> Also
> genau das umgekehrte. Irgendwas mache ich falsch.
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 13.01.2013 | | Autor: | pancho |
Also mache ich eine Fallunterscheidung:
1. Fall: [mm]a \geq 2[/mm]
2. Fall: [mm]a < 2[/mm]
Da ich alle x aus R haben will, kommt für mich nur der 2. Fall in Frage.
Okay, so weit, so gut.
Die Ungleichung ist ein Lösungsansatz für folgende Aufgabe:
[mm]{f(x)=\bruch{1}{3}x^3-(a-2)x} [/mm] [mm]; a \in \IR[/mm]
Hier soll ich a so bestimmen, dass [mm]f(x)[/mm] keine Extrem- oder Sattelstelle besitzt.
Kann ich die Aufgabe auch lösen, ohne die Ungleichung zu benutzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also mache ich eine Fallunterscheidung:
> 1. Fall: [mm]a \geq 2[/mm]
> 2. Fall: [mm]a < 2[/mm]
>
> Da ich alle x aus R haben will, kommt für mich nur der 2.
> Fall in Frage.
>
> Okay, so weit, so gut.
>
> Die Ungleichung ist ein Lösungsansatz für folgende
> Aufgabe:
>
> [mm]{f(x)=\bruch{1}{3}x^3-(a-2)x} [/mm] [mm]; a \in \IR[/mm]
>
> Hier soll ich a so bestimmen, dass [mm]f(x)[/mm] keine Extrem- oder
> Sattelstelle besitzt.
>
> Kann ich die Aufgabe auch lösen, ohne die Ungleichung zu
> benutzen?
>
Es ist [mm] f'(x)=x^2-(a-2), [/mm] also
f'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] (*) [mm] x^2=a-2
[/mm]
Wenn a-2<0 ist hat (*) keine Lösung.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 So 13.01.2013 | | Autor: | pancho |
So kürze ich wenigstens den Lösungsweg mit der Fallunterscheidung ab.
Vielen Dank für alle Antworten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 So 13.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Ist beantwortet.
FRED
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