Ungleichung mit Stopzeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:19 Mi 06.06.2012 | | Autor: | f12 |
Wenn ich ein Integral habe
[mm] $$\int_0^t f^2 d\mu$$
[/mm]
und definiere nun die Stopzeit:
[mm] $$T_n:=\inf\{t\ge 0| \int_0^t f^2d\mu > n\}$$
[/mm]
Wieso gilt folgende Ungleichung:
[mm] $$\int_0^{T_n} f^2 d\mu \le [/mm] n$$
greetz
f12
|
|
| |
|
> Wenn ich ein Integral habe
>
> [mm]\int_0^t f^2 d\mu[/mm]
>
> und definiere nun die Stoppzeit:
>
> [mm]T_n:=\inf\{t\ge 0\ | \int_0^t f^2d\mu > n\}[/mm]
>
> Wieso gilt folgende Ungleichung:
>
> [mm]\int_0^{T_n} f^2 d\mu \le n[/mm]
>
> greetz
>
> f12
Hallo,
es genügt, sich das Ganze für einen einzigen konkreten
Wert von n klar zu machen. Ich lasse deshalb den Index
n ( bei [mm] T_n [/mm] ) weg.
Kürzen wir [mm]\int_0^t f^2 d\mu[/mm] zu F(t) ab,
und es sei
[mm]T=\inf\{t\ge 0\ |\ F(t) > n\}[/mm]
Die Funktion [mm] t\mapsto{F(t)} [/mm] ist als Stammfunktion des
nichtnegativen Integranden [mm] f^2 [/mm] eine differenzierbare und
damit auch stetige, monoton wachsende Funktion.
Wäre nun (im Gegensatz zur Behauptung) F(T)>n ,
so müsste es wegen der Stetigkeit und Monotonie von F
ein u mit $\ [mm] 0\le [/mm] u<T$ geben, für welches ebenfalls noch F(u)>n gilt.
Damit hätten wir aber einen Widerspruch zur Voraus-
setzung, dass T wirklich Infimum sein soll.
LG Al-Chw.
(N.B.: hoffentlich habe ich die Überlegung einigermaßen
klar rübergebracht - es ist lange her, seitdem ich mich
mit derartigen Nachweisen beschäftigen musste ...  )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 08.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
