Ungleichung mit dem MWS beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 So 07.02.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung, dass für x [mm] \in \IR
[/mm]
gilt:
[mm] e^x \ge [/mm] x+1 |
ich hab die ungleichung erstmal umgestellt
f(x) = [mm] e^x [/mm] -x-1 [mm] \ge [/mm] 0
dann habe ich ein a und b genommen und in die Gleichung des Mittelwertsatzes eingesetzt.
[mm] \bruch{e^b-b-1-e^a+a+1}{b-a}=f'(\xi)=e^\xi-\xi-1
[/mm]
[mm] e^b-b-e^a+a=(e^\xi-\xi-1)*(b-a) [/mm] und jetzt weiß ich nicht so genau, wie das weiter geht, ist der ansatz überhaupt richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie mit dem Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung, dass für x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt:
> [mm]e^x \ge[/mm] x+1
> ich hab die ungleichung erstmal umgestellt
>
> f(x) = [mm]e^x[/mm] -x-1 [mm]\ge[/mm] 0
>
> dann habe ich ein a und b genommen und in die Gleichung des
> Mittelwertsatzes eingesetzt.
>
> [mm]\bruch{e^b-b-1-e^a+a+1}{b-a}=f'(\xi)=e^\xi-\xi-1[/mm]
Du hast [mm] $f'(\xi)$ [/mm] falsch ausgerechnet.
> [mm]e^b-b-e^a+a=(e^\xi-\xi-1)*(b-a)[/mm] und jetzt weiß ich nicht
> so genau, wie das weiter geht, ist der ansatz überhaupt
> richtig?
Setz doch mal $a = 0$ ein, und multipliziere mit $b - a$. Was kannst du ueber den rechten Ausdruck sagen, wenn du die Faelle $b < 0$ und $b > 0$ unterscheidest? Beachte, dass [mm] $\xi$ [/mm] das gleiche Vorzeichen wie $b$ hat (warum?).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mo 08.02.2010 | | Autor: | johnyan |
$ [mm] e^b-b-e^a+a=(e^\xi-1)\cdot{}(b-a) [/mm] $
für a=0 einsetzen
$ [mm] e^b-b-1=(e^\xi-1)\cdot{}b [/mm] $
$ [mm] e^b-1=b*e^\xi [/mm] $
wenn b>0, dann ist [mm] b*e^\xi>0
[/mm]
wenn b<0, dann ist [mm] b*e^\xi<0 [/mm] , da exp() immer positiv ist, hängt das vorzeichen nur von b ab.
wie kann ich daraus eine aussage über [mm] e^x \ge [/mm] x+1 machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]e^b-b-e^a+a=(e^\xi-1)\cdot{}(b-a)[/mm]
>
> für a=0 einsetzen
>
> [mm]e^b-b-1=(e^\xi-1)\cdot{}b[/mm]
Hier halten wir mal inne ! Du hast: ist b [mm] \ge [/mm] 0, so ex [mm] \xi [/mm] zwischen 0 und b mit:
[mm]e^b-b-1=(e^\xi-1)\cdot{}b[/mm]
Die rechte Seite dieser letzten Gleichung Ist [mm] \ge [/mm] 0. Fazit:
[mm]e^b-b-1 \ge 0[/mm] für b [mm] \ge [/mm] 0
Taufe b um in x und Du hast was Du brauchst
FRED
> [mm]e^b-1=b*e^\xi[/mm]
>
> wenn b>0, dann ist [mm]b*e^\xi>0[/mm]
> wenn b<0, dann ist [mm]b*e^\xi<0[/mm] , da exp() immer positiv ist,
> hängt das vorzeichen nur von b ab.
>
> wie kann ich daraus eine aussage über [mm]e^x \ge[/mm] x+1 machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Mo 08.02.2010 | | Autor: | johnyan |
stimmt, das habe ich nicht gesehen.
in der aufgabe stand, dass man das für x [mm] \in \IR [/mm] zeigen sollen,
also lautet der zweite teil der antwort, dass es für b [mm] \le [/mm] 0 -> [mm] e^\xi \le [/mm] 1 und damit [mm] (e^\xi-1) \le [/mm] 0 und [mm] (e^\xi-1)\cdot{}b \ge [/mm] 0 ist, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Genau
FRED
|
|
|
|
