Ungleichung mit doppel Betrag < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Benni23 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die reelle Lösungsmenge von:
|x+|2x-1||<1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir nicht sicher wie ich mit der Fallunterscheidung beginnen, bzw. diese korrekt durchführen soll, ob z.B. von dem äußerem Betrag auf den inneren oder umgekehrt. Habe erstmal so von außen nach innen angefangen:
1. x+|2x-1| [mm] \ge0 [/mm] -> x [mm] \ge0
[/mm]
a) 2x-1 [mm] \ge0 [/mm] -> x [mm] \ge \bruch{1}{2}
[/mm]
x+2x-1<1 -> [mm] x<\bruch{2}{3}
[/mm]
b) 2x-1<0 -> [mm] x<\bruch{1}{2} [/mm]
x-2x+1<1 -> x>0
2. x+|2x-1|<0 -> [mm] x<\bruch{1}{2}
[/mm]
a) 2x-1 [mm] \ge0 [/mm] -> x [mm] \ge\bruch{1}{2}
[/mm]
-x+2x-1<1 -> x<2
b) 2x-1<0 -> [mm] x<\bruch{1}{2} [/mm]
-x-2x+1<1 -> x>0
Wir haben zu der Aufgabe auch die Lösung bekommen, welche am Ende dann L= [mm] (0;\bruch{2}{3}) [/mm] seien soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 04.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie die reelle Lösungsmenge von:
>
> |x+|2x-1||<1
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin mir nicht sicher wie ich mit der Fallunterscheidung
> beginnen, bzw. diese korrekt durchführen soll, ob z.B. von
> dem äußerem Betrag auf den inneren oder umgekehrt. Habe
> erstmal so von außen nach innen angefangen:
>
> 1. x+|2x-1| [mm]\ge0[/mm] -> x [mm]\ge0[/mm]
Das stimmt nicht. Z.B. ist für x=-1: x+|2x-1|=-1+3=2 [mm] \ge [/mm] 0.
> a) 2x-1 [mm]\ge0[/mm] -> x [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
> x+2x-1<1
> -> [mm]x<\bruch{2}{3}[/mm]
> b) 2x-1<0 -> [mm]x<\bruch{1}{2}[/mm]
> x-2x+1<1 -> x>0
>
> 2. x+|2x-1|<0 -> [mm]x<\bruch{1}{2}[/mm]
Auch das stimmt nicht. Für x=1/4 ist x+|2x-1|>0.
FRED
> a) 2x-1 [mm]\ge0[/mm] -> x [mm]\ge\bruch{1}{2}[/mm]
> -x+2x-1<1 -> x<2
> b) 2x-1<0 -> [mm]x<\bruch{1}{2}[/mm]
> -x-2x+1<1 -> x>0
>
> Wir haben zu der Aufgabe auch die Lösung bekommen, welche
> am Ende dann L= [mm](0;\bruch{2}{3})[/mm] seien soll.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Benni23 |
> > 1. x+|2x-1| $ [mm] \ge0 [/mm] $ -> x $ [mm] \ge0 [/mm] $
> Das stimmt nicht. Z.B. ist für x=-1: x+|2x-1|=-1+3=2 [mm]\ge[/mm]
> 0.
>>> ok, habe den Bereich jetzt durch Überlegen zu [mm] -\infty
> > 2. x+|2x-1|<0 -> [mm]x<\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Auch das stimmt nicht. Für x=1/4 ist x+|2x-1|>0.
>
>>> aus der Überlegung aus 1. ergibt sich hier dann eine leere Menge und macht diesen Fall überflüssig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:19 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > 1. x+|2x-1| [mm]\ge0[/mm] -> x [mm]\ge0[/mm]
> > Das stimmt nicht. Z.B. ist für x=-1: x+|2x-1|=-1+3=2 [mm]\ge[/mm]
> > 0.
>
> >>> ok, habe den Bereich jetzt durch Überlegen zu
> [mm]-\infty
> berechnen?
>
> > > 2. x+|2x-1|<0 -> [mm]x<\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Auch das stimmt nicht. Für x=1/4 ist x+|2x-1|>0.
> >
> >>> aus der Überlegung aus 1. ergibt sich hier dann eine
> leere Menge und macht diesen Fall überflüssig?
>
Ich kann Dir nicht folgen !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Do 05.02.2015 | | Autor: | Benni23 |
Gemeint ist, dass der Wertebereich für den [mm] x+|2x-1|\ge0 [/mm] gilt, also |x+|2x-1|=x+|2x-1| ist(, den ich als Fall 1. bezeichnet habe) [mm] W=(-\infty;\infty) [/mm] ist.
Daraus habe ich dann gefolgert, dass x+|2x-1|<0 (,also|x+|2x-1|=-x+|2x-1|) für keinen Wert eine Lösung besitzt, wodurch sich dieser Fall(Fall 2.) erübrigt.
Zu betrachten wäre also nurnoch:
1.a) |2x-1|=2x-1 gilt wenn: [mm] 2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge \bruch{1}{2}
[/mm]
x+2x-1<1 [mm] \Rightarrow [/mm] x< [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow L_1=[\bruch{1}{2};\bruch{2}{3})
[/mm]
und
1.b) |2x-1|=-2x+1 gilt wenn: 2x-1<0 [mm] \Rightarrow [/mm] x< [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
x-2x+1<1 [mm] \Rightarrow [/mm] x>0
[mm] \Rightarrow L_2=(0;\bruch{1}{2})
[/mm]
Dann als Gesamtlösung [mm] L=L_1\cup L_2=(0;\bruch{2}{3})
[/mm]
Ist das dann auch ein richtiger Lösungsweg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Do 05.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gemeint ist, dass der Wertebereich
was verstehst Du an dieser Stelle unter dem Wertebereich? Wertebereiche
gibt es bei Funktionen.
> für den [mm]x+|2x-1|\ge0[/mm]
> gilt, also |x+|2x-1|=x+|2x-1| ist(, den ich als Fall 1.
> bezeichnet habe) [mm]W=(-\infty;\infty)[/mm] ist.
Was ist W? Welche Zusammenhänge soll es nun geben? Ich kann Dir hier
nicht folgen!
> Daraus habe ich dann gefolgert, dass x+|2x-1|<0
> (,also|x+|2x-1|=-x+|2x-1|) für keinen Wert eine Lösung
> besitzt, wodurch sich dieser Fall(Fall 2.) erübrigt.
Jetzt müßte ich wissen oder nochmal nachgucken, was denn Fall 2. war...
Sinnvoller ist es, Du schreibst das nochmal oder machst ein C & P!
> Zu betrachten wäre also nurnoch:
> 1.a) |2x-1|=2x-1 gilt wenn: [mm]2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge \bruch{1}{2}[/mm]
Okay: $2x-1 [mm] \ge [/mm] 0$ (was mit $x [mm] \ge [/mm] 1/2$ gleichbedeutend ist) [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $|2x-1|=2x-1$.
>
> x+2x-1<1 [mm]\Rightarrow[/mm] x< [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow L_1=[\bruch{1}{2};\bruch{2}{3})[/mm]
Na, denke mal drüber nach - wenn Du schon keine [mm] $\iff$ [/mm] verwenden willst (was
man aber auch nur tun sollte, NACHDEM man drüber nachgedacht hat - ob das
so logisch in die richtige Richtung gefolgert ist:
Wenn Du schreibst, dass für $x [mm] \ge [/mm] 1/2$ gilt
$|x+|2x-1||=x+2x-1<1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x < 2/3$
dann besagt dass nur, dass $x < 2/3$ NOTWENDIG ist. Damit wäre nur, in Deiner
Notation:
[mm] $L_1$ $\subseteq$ $[\tfrac{1}{2},\;\tfrac{2}{3})$
[/mm]
begründet!
> und
>
> 1.b) |2x-1|=-2x+1 gilt wenn: 2x-1<0 [mm]\Rightarrow[/mm] x<
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> x-2x+1<1 [mm]\Rightarrow[/mm] x>0
> [mm]\Rightarrow L_2=(0;\bruch{1}{2})[/mm]
>
> Dann als Gesamtlösung [mm]L=L_1\cup L_2=(0;\bruch{2}{3})[/mm]
>
> Ist das dann auch ein richtiger Lösungsweg?
So schlecht sieht's nicht aus - bis auf die obigen Hinweise. Aber Du musst
(mir jedenfalls) diese *Vorüberlegung* irgendwie nochmal anders erklären.
Denn die Begründung ist mir da nicht so wirklich klar.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 05.02.2015 | | Autor: | Benni23 |
> Hallo,
>
> > Gemeint ist, dass der Wertebereich
>
> was verstehst Du an dieser Stelle unter dem Wertebereich?
> Wertebereiche
> gibt es bei Funktionen.
>
Ok, bin mir nicht sicher wie ich das mathematisch sauber aufschreiben soll, also versuch ich das zu erklären:
gemeint ist, dass x+|2x-1| für alle x [mm] (von-\infty [/mm] bis [mm] \infty) [/mm] größer(gleich) Null ist und somit nur der Fall (mit Unterfällen) |x+|2x-1|=x+|2x-1| existieren kann.
(Vielleicht: |x+|2x-1|=x+|2x-1| gilt wenn [mm] x+|2x-1|\ge0 \forall [/mm] x [mm] \in(-\infty;\infty) [/mm] ?)
Dadurch gibt es keine x für die x+|2x-1| kleiner als Null wird, also existiert der Fall |x+|2x-1|=-x+|2x-1| nicht.
> > für den [mm]x+|2x-1|\ge0[/mm]
> > gilt, also |x+|2x-1|=x+|2x-1| ist(, den ich als Fall 1.
> > bezeichnet habe) [mm]W=(-\infty;\infty)[/mm] ist.
>
> Was ist W? Welche Zusammenhänge soll es nun geben? Ich
> kann Dir hier
> nicht folgen!
Mit W ist der Wertebereich gemeint, aber ich meine glaube eher den Definitionsbereich?
> > Daraus habe ich dann gefolgert, dass x+|2x-1|<0
> > (,also|x+|2x-1|=-x+|2x-1|) für keinen Wert eine Lösung
> > besitzt, wodurch sich dieser Fall(Fall 2.) erübrigt.
>
> Jetzt müßte ich wissen oder nochmal nachgucken, was denn
> Fall 2. war...
> Sinnvoller ist es, Du schreibst das nochmal oder machst
> ein C & P!
>
> > Zu betrachten wäre also nurnoch:
> > 1.a) |2x-1|=2x-1 gilt wenn: [mm]2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Okay: [mm]2x-1 \ge 0[/mm] (was mit [mm]x \ge 1/2[/mm] gleichbedeutend ist)
> [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]|2x-1|=2x-1[/mm].
>
> >
> > x+2x-1<1 [mm]\Rightarrow[/mm] x< [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow L_1=[\bruch{1}{2};\bruch{2}{3})[/mm]
>
> Na, denke mal drüber nach - wenn Du schon keine [mm]\iff[/mm]
> verwenden willst (was
> man aber auch nur tun sollte, NACHDEM man drüber
> nachgedacht hat - ob das
> so logisch in die richtige Richtung gefolgert ist:
> Wenn Du schreibst, dass für [mm]x \ge 1/2[/mm] gilt
>
> [mm]|x+|2x-1||=x+2x-1<1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x < 2/3[/mm]
>
> dann besagt dass nur, dass [mm]x < 2/3[/mm] NOTWENDIG ist. Damit
> wäre nur, in Deiner
> Notation:
>
> [mm]L_1[/mm] [mm]\subseteq[/mm] [mm][\tfrac{1}{2},\;\tfrac{2}{3})[/mm]
>
> begründet!
Also gehört hier beim Lösen der Ungleichung logischerweise ein [mm] \iff [/mm] hin, aber wenn ich davon auf die Lösungsmenge folgere ist ein [mm] \Longrightarrow [/mm] schon richtig? Habe das so aus der Vorlesung übernommen. Z.B.:
2x-1<0 [mm] \iff [/mm] x< [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
x-2x+1<1 [mm] \iff [/mm] x>0
[mm] \Longrightarrow L=(0,\Bruch{1}{2})
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 07.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > Gemeint ist, dass der Wertebereich
> >
> > was verstehst Du an dieser Stelle unter dem Wertebereich?
> > Wertebereiche
> > gibt es bei Funktionen.
> >
>
> Ok, bin mir nicht sicher wie ich das mathematisch sauber
> aufschreiben soll, also versuch ich das zu erklären:
> gemeint ist, dass x+|2x-1| für alle x [mm](von-\infty[/mm] bis
> [mm]\infty)[/mm] größer(gleich) Null ist und somit nur der Fall
> (mit Unterfällen) |x+|2x-1|=x+|2x-1| existieren kann.
>
> (Vielleicht: |x+|2x-1|=x+|2x-1| gilt wenn [mm]x+|2x-1|\ge0 \forall[/mm]
> x [mm]\in(-\infty;\infty)[/mm] ?)
ja, das hört sich viel besser an. Mach' aber aus dem "wenn" ein "weil". Und
ich begründe mal, warum denn $x+|2x-1| [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR=(-\infty,\infty)$ [/mm] gilt:
1. Fall: Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ ist $x [mm] \ge [/mm] -|2x-1|$ klar.
2. Fall: Für $x < 0$ gilt:
$x +|2x-1| [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\iff$ [/mm] $x-2x+1 [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\iff$ [/mm] $x [mm] \le [/mm] 1.$
Der "wirkliche Beweis" im 2. Fall geht dann also so: Aus $x < 0$ folgt
$x [mm] \le [/mm] 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $0 [mm] \le [/mm] -x+1=x-2x+1=x-(2x-1)=x+|2x-1|$
(die letzte Gleichheit wegen $x < 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \le [/mm] 1/2$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $2x-1 <0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $2x-1=-|2x-1|$)
> Dadurch gibt es keine x für die x+|2x-1| kleiner als Null
> wird, also existiert der Fall |x+|2x-1|=-x+|2x-1| nicht.
Okay. Aber, wie gesagt: Das sollte man schon ausführlich darstellen, warum
es solche nicht geben kann. Etwa so, wie ich es oben gemacht habe. Es gibt
auch andere Wege dahingehend. (Vielleicht hattest Du das in einem Deiner
früheren Posts auch getan, das habe ich jetzt nicht nochmal nachgeguckt!)
> > > für den [mm]x+|2x-1|\ge0[/mm]
> > > gilt, also |x+|2x-1|=x+|2x-1| ist(, den ich als Fall 1.
> > > bezeichnet habe) [mm]W=(-\infty;\infty)[/mm] ist.
> >
> > Was ist W? Welche Zusammenhänge soll es nun geben? Ich
> > kann Dir hier
> > nicht folgen!
>
> Mit W ist der Wertebereich gemeint, aber ich meine glaube
> eher den Definitionsbereich?
Das weiß ich halt eben nicht. *Grobgesagt* steht ein Term in x ja meist für
eine Funktion mit *maximalen* (zur Zeit wohl noch reellen) Definitionsbereich.
So würde man etwa für [mm] $2+\sin(1/x)$ [/mm] sagen, dass hier "der Definitionsbereich
[mm] $\IR \setminus \{0\}$" [/mm] und der Wertebereich $[1,3]$ ist. Letzteres ist dann
[mm] $\big\{2+\sin(1/x) \mid x \in \IR \setminus \{0\}\big\}=\bigcup_{x \in \IR \setminus \{0\}}\{2+\sin(1/x)\}$.
[/mm]
> > > Daraus habe ich dann gefolgert, dass x+|2x-1|<0
> > > (,also|x+|2x-1|=-x+|2x-1|) für keinen Wert eine Lösung
> > > besitzt, wodurch sich dieser Fall(Fall 2.) erübrigt.
> >
> > Jetzt müßte ich wissen oder nochmal nachgucken, was denn
> > Fall 2. war...
> > Sinnvoller ist es, Du schreibst das nochmal oder machst
> > ein C & P!
> >
> > > Zu betrachten wäre also nurnoch:
> > > 1.a) |2x-1|=2x-1 gilt wenn: [mm]2x-1\ge0 \Rightarrow x\ge \bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> > Okay: [mm]2x-1 \ge 0[/mm] (was mit [mm]x \ge 1/2[/mm] gleichbedeutend ist)
> > [mm]\Longrightarrow[/mm] [mm]|2x-1|=2x-1[/mm].
> >
> > >
> > > x+2x-1<1 [mm]\Rightarrow[/mm] x< [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow L_1=[\bruch{1}{2};\bruch{2}{3})[/mm]
> >
> > Na, denke mal drüber nach - wenn Du schon keine [mm]\iff[/mm]
> > verwenden willst (was
> > man aber auch nur tun sollte, NACHDEM man drüber
> > nachgedacht hat - ob das
> > so logisch in die richtige Richtung gefolgert ist:
> > Wenn Du schreibst, dass für [mm]x \ge 1/2[/mm] gilt
> >
> > [mm]|x+|2x-1||=x+2x-1<1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x < 2/3[/mm]
> >
> > dann besagt dass nur, dass [mm]x < 2/3[/mm] NOTWENDIG ist. Damit
> > wäre nur, in Deiner
> > Notation:
> >
> > [mm]L_1[/mm] [mm]\subseteq[/mm] [mm][\tfrac{1}{2},\;\tfrac{2}{3})[/mm]
> >
> > begründet!
>
> Also gehört hier beim Lösen der Ungleichung
> logischerweise ein [mm]\iff[/mm] hin, aber wenn ich davon auf die
> Lösungsmenge folgere ist ein [mm]\Longrightarrow[/mm] schon
> richtig? Habe das so aus der Vorlesung übernommen. Z.B.:
>
> 2x-1<0 [mm]\iff[/mm] x< [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> x-2x+1<1 [mm]\iff[/mm] x>0
>
> [mm]\Longrightarrow L=(0,\bruch{1}{2})[/mm]
Ich habe mal aus dem B ein b gemacht, dann sieht man den Bruch auch.
Ich meinte nicht das [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] vor der Lösungsmenge, sondern
das, was auf dem Weg dahin benutzt wurde. Ich mache mal ein einfaches
Beispiel:
Für welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $x^2-4 \ge [/mm] 0$?
Wenn ich jetzt rechne: "Sei durchweg $x [mm] \in \IR$, [/mm] dann
[mm] $(\*)$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\Rightarrow$ $x^2-4 \ge [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $(x+2)*(x-2) [mm] \ge [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 2$ oder $x [mm] \le [/mm] -2$) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in$ $(-\infty,-2]$ $\cup$ $[2,\infty)$."
[/mm]
Dann steht dort kein Beweis dafür, dass
[mm] $M:=\{x \in \IR \mid x^2-4 \ge 0\}$ $\,\red{=}\,$ $(-\infty,-2]$ $\cup$ $[2,\infty)$
[/mm]
gilt.
Meine Rechnung zeigt doch nur: "Wenn (für reelle [mm] $x\,$) $x^2-4 \ge [/mm] 0$ ist, dann muss in notwendiger
Weise auch $x [mm] \in (-\infty,-2]$ $\cup$ $[2,\infty)$ [/mm] sein."
Mit anderen Worten: Dort steht nur der Beweis der Aussage
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M$ gilt: $x [mm] \in$ $(-\infty,-2]$ $\cup$ $[2,\infty)$
[/mm]
Nochmal anders gesagt: Der Beweis zeigt *nur*
$M [mm] \subseteq$ $(-\infty,-2]$ $\cup$ $[2,\infty)$.
[/mm]
Jetzt klarer? Was oben noch fehlt, damit das [mm] $\red{=}$, [/mm] für welches wir bisher
nur [mm] $\subseteq$ [/mm] bewiesen haben, stehen bleiben darf, ist der Beweis von:
[mm] $\forall$ [/mm] $x [mm] \in$ $(-\infty,-2]$ $\cup$ $[2,\infty)$: [/mm] $x [mm] \in [/mm] M$.
Denn das würde auch
[mm] $(-\infty,-2]$ $\cup$ $[2,\infty)$ $\subseteq$ $M\,$
[/mm]
begründen!
(Hier geht das einfach: Man kann in [mm] $(\*)$ [/mm] jedes [mm] $\Rightarrow$ [/mm] durch ein [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen!
Formal könnte man das sogar noch etwas *schöner* ausformulieren, aber
vielleicht ist Dir nun klar(er), dass das i.W. alles ist, was zu tun ist?)
Denn denke halt dran: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede
der beiden Mengen auch in der anderen enthalten ist, d.h. für Mengen $A,B$ gilt:
[mm] $A=B\,$ $\iff$ [/mm] (es gilt [sowohl] $A [mm] \subseteq [/mm] B$ und [als auch] $B [mm] \subseteq [/mm] A$).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie die reelle Lösungsmenge von:
>
> |x+|2x-1||<1
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin mir nicht sicher wie ich mit der Fallunterscheidung
> beginnen, bzw. diese korrekt durchführen soll, ob z.B. von
> dem äußerem Betrag auf den inneren oder umgekehrt.
naja, bei
$|x+|2x-1||$
gibt es ja (wenn man nicht nachdenken will) einfach 4 Fälle zu behandeln:
1.) $2x-1 [mm] \ge [/mm] 0$ und $x+|2x-1| [mm] \ge [/mm] 0$
(dieser Fall geht über in $2x-1 [mm] \ge [/mm] 0$ und $x+2x-1 [mm] \ge [/mm] 0$ - was man weiter umschreiben
kann...)
Den Fall schreibe ich kurz als [mm] $(\ge, \ge)$
[/mm]
Hier ist $|x+|2x-1||=x+2x-1=$...
2.) $2x-1 < 0$ und $x+|2x-1| [mm] \ge [/mm] 0$
(dieser Fall geht über in $2x-1 < 0$ und $x-(2x-1) [mm] \ge [/mm] 0$ - was man weiter umschreiben
kann...)
Den Fall schreibe ich kurz als [mm] $(<,\ge)$.
[/mm]
Hier ist $|x+|2x-1||=x-(2x-1)=$...
3.) $2x-1 [mm] \ge [/mm] 0$ und $x+|2x-1| < 0$
(dieser Fall geht über in $2x-1 < 0$ und $x+2x-1 [mm] \ge [/mm] 0$ - was man weiter umschreiben
kann...)
Den Fall schreibe ich kurz als [mm] $(<,\ge)$.
[/mm]
Hier ist $|x+|2x-1||=-(x-(2x-1))=$...
Den 4. Fall, also $(<,<)$, bekommst Du sicher auch selbst behandelt.
Natürlich kann es sein, dass man sieht, dass sich die Bedingungen eines
Falles *reduziert darstellen lassen* oder aber, dass ein Fall gar nicht wirklich
existent ist (im 3. Fall steht oben, dass zugleich sowohl $2x [mm] \ge [/mm] 1$ als auch $3x < 1$ gelten
soll - das ist gleichwertig mit den simultan zu erfüllenden Bedingungen $x [mm] \ge [/mm] 1/2$ und $x < 1/3,$ und
damit ist dieser Fall nicht existent!)
Dies erstmal so als "allgemeine Strategie".
Jetzt etwas konkreter zu dieser Aufgabe: Für welche reellen $x$ gilt
$|x+|2x-1|| < 1$?
Weil beide Seiten dieser Ungleichung nichtnegativ sind, ist diese Ungleichung
äquivalent zu der, die entsteht, wenn wir sie quadrieren:
$|x+|2x-1|| < 1$
[mm] $\iff$ $|x+|2x-1||^2 [/mm] < [mm] 1^2=1.$
[/mm]
Wegen [mm] $|r|^2=r^2$ [/mm] (reelles [mm] $r\,$) [/mm] und der 2. bin. Formel folgt
$|x+|2x-1|| < 1$
[mm] $\iff$ $|x+|2x-1||^2 [/mm] < [mm] 1^2=1$
[/mm]
[mm] $\iff$ $(x+|2x-1|)^2 [/mm] < 1$
[mm] $\iff$ $x^2+x*|2x-1|+(2x-1)^2< [/mm] 1$
[mm] $\iff$ $x^2+x*|2x-1|+4x^2-4x+1 [/mm] < 1$
[mm] $\iff$ [/mm] $0 < x*(4-5x-|2x-1|).$
Die letzte Ungleichung wirkt insofern handlicher, als dass man bei der
Behandlung des Betrages hier nur eine Fallunterscheidung bzgl. des
Betrages braucht.
P.S. Wenn man übrigens gar keine Idee hat, wie man an eine solche
Aufgabe rangehen soll oder welche Fallunterscheidungen vielleicht
*auf die Schnelle die richtigen* sind:
Kannst Du Dir vielleicht mal überlegen, wie der Graph von
$x [mm] \mapsto [/mm] |x+|2x-1||$
aussieht?
Die Idee dabei ist die Folgende:
Im Falle $2x-1 [mm] \ge [/mm] 0$ (also $x [mm] \ge [/mm] 1/2$) gilt
$|x+|2x-1||=|x+2x-1|=|3x-1|$
Wie die auf [mm] $\IR$ [/mm] definiere Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] 3x-1$ aussieht, ist Dir hoffentlich
klar - was bewirkt nun das Betragszeichen? Markiere Dir von dem Graphen
von $x [mm] \mapsto [/mm] |3x-1|$ nur den Teil rot, bei dem auch $x [mm] \ge [/mm] 1/2$ ist.
Im Falle $2x-1 < 0$ (also $x < 1/2$) gilt
$|x+|2x-1||=|x-(2x-1)|=|1-x|$.
Wie der Graph der auf [mm] $\IR$ [/mm] definierten Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] |1-x|$ aussieht, ist
analog zu oben. Markiere Dir von diesem Graphen den Teil rot, der $x < 1/2$ erfüllt.
Die Frage ist nun: Welcher rote Anteil liegt (echt) unter der Geraden, die
durch $y=1$ gegeben ist.
Wenn Du die geometrische Überlegung oben verstanden hat, solltest Du
sehen, dass dahingehend die untere Grenze durch die Lösung der Gleichung
$1-x=1$ (d.h. $x=0$)
und die obere durch die Lösung der Gleichung
$3x-1=1$ (d.h. $x=2/3$)
gegeben wird. M.a.W.:
[mm] $\IL=]0,\;2/3[$ $\,=\,$ $\{x \in \IR \mid 0 < x < 2/3\}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Do 05.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich zeig Dir mal, wie man so etwas konsequent lösen kann. Dazu beachte:
Vorbemerkung: eine Ungleichung der Form $|a|<b$ (mit $b>0$ ) ist gleichbedeutend mit
$-a<b<a.$
Fall1: $x [mm] \ge \bruch{1}{2}$. [/mm] Dann ist $|2x-1|=2x-1$. Somit:
$|x+|2x-1||<1 [mm] \gdw [/mm] |3x-1|<1 [mm] \gdw [/mm] -1<3x-1<1 [mm] \gdw [/mm] 0<3x<2 [mm] \gdw 0
Lösungsmenge in diesem Fall: [mm] $[\bruch{1}{2}, \bruch{2}{3}).$
[/mm]
Fall 2: $x < [mm] \bruch{1}{2}$. [/mm] Dann ist $|2x-1|=-2x+1.$ Somit:
$|x+|2x-1||<1 [mm] \gdw [/mm] |x-2x+1|<1 [mm] \gdw [/mm] |1-x|<1 [mm] \gdw [/mm] |x-1|<1 [mm] \gdw [/mm] -1<x-1<1 [mm] \gdw [/mm] 0<x<2.$
Lösungsmenge in diesem Fall: $(0, [mm] \bruch{1}{2}).$
[/mm]
Aus obigen Fällen ergibt sich nun:
$ |x+|2x-1||<1 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in (0,\bruch{2}{3}) [/mm] $
FRED
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