Ungleichung skizzieren < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Sa 22.03.2008 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | | Skizzieren Sie das durch die Ungleichung [mm] \vmat{Re(z^{2})} \le [/mm] 3 beschriebene Gebiet in der komplexen Zahlenebene. |
Hallo,
ich wollte mal fragen, wie ich bei der obigen Aufgabe am besten verfahre.
Also ich habe da stehen:
[mm] \vmat{Re(z^{2})} \le [/mm] 3
Damit nehme ich an, dass es egal ist, welche Größe der Imaginärteil annimmt.
Jetzt stört mich noch das Quadrat. Kann ich denn jetzt einfach die Wurzel aus dem Realteil ziehen und sagen: Das Gebiet umfasst alle komplexen Zahlen z := y + ix für die gilt:
im Realteil: (y [mm] \in \IR [/mm] | y [mm] \le \wurzel{3}) [/mm]
und
im Imaginärteil: (x [mm] \in \IR)
[/mm]
Ist das so richtig?
Viele Grüße,
matti
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Sa 22.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du machst einen Fehler!
Da steht ja nicht [mm] (Re(z))^2 [/mm] sondern [mm] Re(z^2)=x^2-y^2 [/mm] mit z=x+iy.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Skizzieren Sie das durch die Ungleichung [mm]\vmat{Re(z^{2})} \le[/mm]
> 3 beschriebene Gebiet in der komplexen Zahlenebene.
> Hallo,
>
> ich wollte mal fragen, wie ich bei der obigen Aufgabe am
> besten verfahre.
> Also ich habe da stehen:
>
> [mm]\vmat{Re(z^{2})} \le[/mm] 3
>
> Damit nehme ich an, dass es egal ist, welche Größe der
> Imaginärteil annimmt.
> Jetzt stört mich noch das Quadrat. Kann ich denn jetzt
> einfach die Wurzel aus dem Realteil ziehen und sagen: Das
> Gebiet umfasst alle komplexen Zahlen z := y + ix für die
> gilt:
>
> im Realteil: (y [mm]\in \IR[/mm] | y [mm]\le \wurzel{3})[/mm]
> und
> im Imaginärteil: (x [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Also, wie schon Leduart geschrieben hat, geht das so nicht, denn i.a. gilt nicht [mm] $(\mbox{Re}(z))^2=\mbox{Re}(z^2)$, [/mm] denn:
[mm] $x=\mbox{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $y=\mbox{Im}(z)$ [/mm] liefert für $z=x+i*y$:
[mm] $z^2=x^2+2*i*x*y-y^2=(x^2-y^2)+i*(2xy)$, [/mm] also
[mm] $\mbox{Re}(z^2)=x^2-y^2$ [/mm] (und [mm] $\mbox{Im}(z^2)=2xy)$ [/mm] und für $y [mm] \not=0$ [/mm] ist [mm] $\mbox{Re}(z^2)=x^2-y^2 \not=x^2=(\mbox{Re}(z))^2$
[/mm]
Abgesehen davon wäre das aber auch falsch, wenn oben [mm] $(\mbox{Re(z)})^2 \le [/mm] 3$ stünde, denn es gilt nicht:
[mm] $(\mbox{Re}(z))^2 \le [/mm] 3 [mm] \gdw \mbox{Re(z)} \le \sqrt{3}$
[/mm]
(hier gilt nur [mm] $\Rightarrow$, [/mm] die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist i.a. falsch!)
sondern:
[mm] $(Re(z))^2 \le [/mm] 3 [mm] \gdw |\mbox{Re(z)}| \le \sqrt{3} \gdw -\sqrt{3} \le |\mbox{Re}(z)| \le \sqrt{3}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
