Ungleichung von Tschebyscheff < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Di 10.03.2015 | | Autor: | sunmysky |
| Aufgabe 1 | | Für die Zufallsvariable X sei angenommen, dass X~BV(1000,0.5). Zu bestimmen ist ein [mm] \sigma\ge [/mm] 0, so dass X mit einer Wahrscheinlichkeit [mm] \ge [/mm] 0.9 einen Wert aus [mm] [\mu [/mm] - [mm] \sigma;\mu [/mm] + [mm] \sigma] [/mm] annimmt. |
| Aufgabe 2 | | Für eine Bernoullikette [mm] (X_1,X_2,...X_n) [/mm] der Länge n=1000 mit dem Parameter [mm] p=\bruch{1}{4} [/mm] ist [mm] \beta [/mm] > 0 so zu bestimmen, dass [mm] P(|\summe_{k=1}^{n} X_k [/mm] - [mm] \mu|> \beta) \approx [/mm] 0.9 gilt. |
Hallo ihr da draußen. Ich hoffe bei diesem sonnigen Wetter sitz irgendjemand vor seinem Computer und kann mir helfen.
Ich versteh nämlich die Tschebyscheffe Ungliechung nicht. Klar ist mir, was ich tun muss, wenn ich eine Abweichung gegeben habe. Dann setzt ich alles ein und rechne aus.
ABER: Wie löse ich denn die beiden obrigen Aufgaben?
Ich bin für jede Hilfe,jeden Ansatz dankbar!
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Hallo sunmysky,
> Für die Zufallsvariable X sei angenommen, dass
> X~BV(1000,0.5). Zu bestimmen ist ein [mm]\sigma\ge[/mm] 0, so dass X
> mit einer Wahrscheinlichkeit [mm]\ge[/mm] 0.9 einen Wert aus [mm][\mu[/mm] -
> [mm]\sigma;\mu[/mm] + [mm]\sigma][/mm] annimmt.
> Für eine Bernoullikette [mm](X_1,X_2,...X_n)[/mm] der Länge
> n=1000 mit dem Parameter [mm]p=\bruch{1}{4}[/mm] ist [mm]\beta[/mm] > 0 so zu
> bestimmen, dass [mm]P(|\summe_{k=1}^{n} X_k[/mm] - [mm]\mu|> \beta) \approx[/mm]
> 0.9 gilt.
> Ich versteh nämlich die Tschebyscheffe Ungliechung nicht.
> Klar ist mir, was ich tun muss, wenn ich eine Abweichung
> gegeben habe. Dann setzt ich alles ein und rechne aus.
> ABER: Wie löse ich denn die beiden obrigen Aufgaben?
> Ich bin für jede Hilfe,jeden Ansatz dankbar!
Du weißt, was du tun musst, wenn du eine Abweichung gegeben hast (ich vermute, mit Abweichung meinst du [mm] $\sigma$ [/mm] ?). Genau dieselbe Ungleichung musst du nun auch aufstellen, nur dass du eben mit einem allgemeinen [mm] $\sigma$ [/mm] arbeitest, ohne Zahlen einzusetzen.
Ich nehme mal an, dass [mm] $\mu$ [/mm] immer den Erwartungswert der Zufallsvariablen bezeichnen soll.
Erste Aufgabe
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Hier ist [mm] $\mu [/mm] = 1000*0.5 = 500$.
Als erstes musst du dir darüber Gedanken machen, wie du den Satz
"Zu bestimmen ist ein [mm]\sigma\ge[/mm] 0, so dass X mit einer Wahrscheinlichkeit [mm]\ge[/mm] 0.9 einen Wert aus [mm][\mu[/mm] - [mm]\sigma;\mu[/mm] + [mm]\sigma][/mm] annimmt"
in eine Ungleichung mit Wahrscheinlichkeiten schreiben kannst.
Die Aussage " $X$ liegt in [mm] $[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$ [/mm] " ist äquivalent zu " [mm] $|X-\mu| \le \sigma$ [/mm] ". Wir wollen also, dass
[mm] $P(|X-\mu| \le \sigma) \ge [/mm] 0.9$
ist. Das bedeutet, wir wollen
[mm] $P(|X-\mu| [/mm] > [mm] \sigma) \le [/mm] 0.1$.
Mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung kannst du eine Schranke [mm] $S(\sigma)$ [/mm] angeben, sodass
[mm] $P(|X-\mu| [/mm] > [mm] \sigma) \le S(\sigma)$
[/mm]
gilt. Wenn du also [mm] $\sigma$ [/mm] so wählst, dass [mm] $S(\sigma) \le [/mm] 0.1$ gilt, hast du die Aufgabe gelöst. Denn dann gilt:
[mm] $P(|X-\mu| [/mm] > [mm] \sigma) \le S(\sigma) \le [/mm] 0.1$.
Zweite Aufgabe
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Bist du dir sicher, dass hier mit der Tschebyscheff-Ungleichung zu arbeiten ist? Diese Ungleichung kann immer nur eine Ungleichung
P(irgendwas) [mm] \le [/mm] ...
erreichen, in der Aufgabe ist aber von [mm] $\approx [/mm] ...$ die Rede. Hattet ihr schon Normalapproximation der Binomialverteilung? Das ist hier dann wahrscheinlich anzuwenden.
Ich vermute außerdem, dass vor der Summe [mm] $\sum_{k=1}^{n}X_k$ [/mm] noch ein $1/n$ stehen soll??
Wenn alle meine Vermutungen zutreffen, musst du benutzen, dass nach dem Zentralen Grenzwertsatz gilt:
[mm] $\sqrt{n}\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}X_k - \mu}{\sqrt{Var(X_1)}}$
[/mm]
ist ungefähr verteilt wie eine Standardnormalverteilung $N(0,1)$. Damit kannst du [mm] $\beta$ [/mm] mit Hilfe einer Quantiltabelle bestimmen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 10.03.2015 | | Autor: | sunmysky |
Hallo steppenhahn!
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe bei der Aufgabe 1 nochmal ein wenig gebastelt mit Hilfe deines Tipps und habe nun Folgendes heraus:
[mm] \mu [/mm] = n [mm] \dot [/mm] p = 500
var(x) = n [mm] \dot [/mm] p [mm] \dot [/mm] (1-p) = 250
Mit deiner Ungleichung P(|X- [mm] \mu |\le \sigma) \ge [/mm] 0.9
hab ich mir nun überlegt, dass
P(|X- [mm] \mu |\le \sigma) [/mm] = 1- P(|X- [mm] \mu |\ge \sigma [/mm] +1) [mm] \le [/mm] 0.1 = [mm] \bruch [/mm] { [mm] Var(X)}{(\sigma +1)^2}
[/mm]
(weil Tschebyscheff ja P(|X- [mm] \mu [/mm] | [mm] \ge \epsilon [/mm] ist, hab ich statt > [mm] \sigma [/mm] eben [mm] \ge \sigma+1)
[/mm]
Also habe ich zu lösen:
0.1 = [mm] \bruch{ 250}{(\sigma +1)^2}
[/mm]
[mm] (\sigma +1)^2 [/mm] =2500
[mm] \sigma_1 [/mm] = -49,99
[mm] \sigma_2 [/mm] = 47,99
Kann das sein oder ist das totaler Quatsch???
Bei Aufgabe 2 steht kein [mm] \bruch [/mm] {1}{n} davor. Also geht der ZGW leider nicht. Noch ne Idee???
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Hallo,
> Hallo steppenhahn!
> Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe bei der Aufgabe 1
> nochmal ein wenig gebastelt mit Hilfe deines Tipps und habe
> nun Folgendes heraus:
>
> [mm]\mu[/mm] = n [mm]\dot[/mm] p = 500
> var(x) = n [mm]\dot[/mm] p [mm]\dot[/mm] (1-p) = 250
>
> Mit deiner Ungleichung P(|X- [mm]\mu |\le \sigma) \ge[/mm] 0.9
> hab ich mir nun überlegt, dass
> P(|X- [mm]\mu |\le \sigma)[/mm] = 1- P(|X- [mm]\mu |\ge \sigma[/mm] +1) [mm]\le[/mm]
> 0.1 = [mm]\bruch[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]Var(X)}{(\sigma +1)^2}[/mm]
> (weil Tschebyscheff
> ja P(|X- [mm]\mu[/mm] | [mm]\ge \epsilon[/mm] ist, hab ich statt > [mm]\sigma[/mm]
> eben [mm]\ge \sigma+1)[/mm]
Dein Endergebnis ist soweit ok, aber du hast etwas unsauber umgeformt. Nochmal genau: Wir wollen:
[mm] $1-P(|X-\mu| > \sigma) [/mm] = [mm] P(|X-\mu| \le \sigma) \ge [/mm] 0.9$
Dazu äquivalent ist:
[mm] $P(|X-\mu| > \sigma) \le [/mm] 0.1$ (*)
Du hast nun völlig Recht, dass die Tschebyscheff-Ungleichung mit [mm] $\ge$ [/mm] statt $>$ formuliert ist. Du musst dir aber im Klaren sein, dass im Allgemeinen
[mm] $P(|X-\mu| \ge \sigma+1) [/mm] < [mm] P(|X-\mu| [/mm] > [mm] \sigma) [/mm] $
ist und wir daher, wenn wir die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(|X-\mu| \ge \sigma+1)$ [/mm] mit der Tschebyscheff-Ungleichung durch 0.1 beschränken, nicht sicher sein können, dass auch [mm] $P(|X-\mu| [/mm] > [mm] \sigma)$ [/mm] durch 0.1 beschränkt ist.
Daher ist es besser, die Tschebyscheff-Ungleichung stattdessen auf
[mm] $P(|X-\mu| \ge \sigma) \le [/mm] 0.1$
anzuwenden (denn es gilt dann [mm] $P(|X-\mu| [/mm] > [mm] \sigma) \le P(|X-\mu| \ge \sigma) \le [/mm] 0.1$ ). Damit erhältst du wie unten die Ungleichung [mm] $\frac{250}{\sigma^2} \le [/mm] 0.1$ d.h. [mm] $\sigma \ge [/mm] 50$. Du musst also [mm] $\sigma$ [/mm] mindestens als 50 wählen.
> Also habe ich zu lösen:
> 0.1 = [mm]\bruch{ 250}{(\sigma +1)^2}[/mm]
>
> [mm](\sigma +1)^2[/mm] =2500
> [mm]\sigma_1[/mm] = -49,99
> [mm]\sigma_2[/mm] = 47,99
>
> Kann das sein oder ist das totaler Quatsch???
Das war wie gesagt schon ganz gut, aber die Lösungen für sigma sind ein bisschen seltsam. Es sollte bei deiner Rechnung [mm] $\sigma [/mm] = 49$ als Lösung herauskommen. Negative [mm] $\sigma$ [/mm] sind natürlich keine Lösungen.
> Bei Aufgabe 2 steht kein [mm]\bruch[/mm] {1}{n} davor. Also geht der
> ZGW leider nicht. Noch ne Idee???
Der ZGWS geht trotzdem, es wäre bloß netter mit 1/n gewesen.
Mach dir klar, dass $X := [mm] \sum_{k=1}^{n}X_k \sim [/mm] Binomial(1000, 1/4)$ ist.
Wie du siehst, könntest du die Aufgabe nun auch wie bei Aufgabe 1 mit der Tschebyscheff-Ungleichung angehen, nur dass du eben eigentlich eine Gleichheit statt einer Ungleichheit erreichen sollst.
Mit ZGWS würdest du so vorgehen: Mit [mm] $\mu [/mm] = E[X] = n*p = 1000*1/4 = 250$ und $Var(X) = n*p*(1-p) = ...$ gilt
[mm] $\frac{X - \mu}{Var(X)} \approx [/mm] N(0,1).$
(siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier).
Damit kannst du schreiben:
$0.9 [mm] \approx P(|\sum_{k=1}^{n}X_k-\mu| [/mm] > [mm] \beta) [/mm] = [mm] P(|X-\mu| [/mm] > [mm] \beta) [/mm] = [mm] P\left(\left|\frac{X-\mu}{Var(X)}\right| > \frac{\beta}{Var(X)}\right) \approx [/mm] P(|N(0,1)| > [mm] \frac{\beta}{Var(X)}) [/mm] = [mm] 2\cdot\left(1-\Phi(\frac{\beta}{Var(X)})\right).$
[/mm]
(Prüf' die Gleichungskette nochmal nach, insbesondere die letzte Gleichheit, es war schon spät ^^)
Damit kannst du nun nach [mm] $\Phi(...)$, [/mm] der Standardnormalverteilungs-Verteilungsfunktion umstellen und dann aus einer Quantiltabelle den Wert von [mm] $\frac{\beta}{Var(X)}$ [/mm] ermitteln. Daraus kannst du dann [mm] $\beta$ [/mm] bestimmen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:59 Mi 11.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo sunmysky!
An diesem Beispiel fällt sofort auf, dass die Tschebyscheff-
Ungleichung eine sehr grobe Abschätzung ist.
Meiner Meinung nach hätte man mit präziser Festsetzung von [mm] \sigma
[/mm]
mehr aus der Aufgabe rausholen können. Jedenfalls will ich
einen alternativen Lösungsweg vorschlagen.
Sei [mm] $X\sim B_{1000,\frac{1}{2}}$, [/mm] also [mm] \mu=n*p=500 [/mm] und [mm] $\nu^2=n*p*(1-p)=250\$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $P(|X-\mu|\le\sigma)=P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx\Phi\left(\frac{\sigma+0.5}{\nu}\right)-\Phi\left(\frac{-(\sigma+0.5)}{\nu}\right)=2\Phi\left(\frac{\sigma+0.5}{\nu}\right)-1$.
[/mm]
Demnach genügt für die Aufgabe die Betrachtung von
[mm] \min_{\sigma}\left(\Phi\left(\frac{\sigma+0.5}{\sqrt{250}}\right)\overset{!}{\ge}\frac{19}{20}\right).
[/mm]
Nun hat man mehrere Möglichkeiten. Eine geschlossene Form kann
man zum Beispiel durch die Fehlerfunktion erreichen. Natürlich
kann man auch numerisch vorgehen oder mit Tabellen vergleichen.
Numerisch erhalte ich folgendes Ergebnis:
[mm] $\sigma_{\text{min}}\approx [/mm] 25.5074$.
Wenn wir für [mm] \sigma [/mm] nur Natürliche Zahlen zulassen, dann erhalten wir
[mm] $P(|X-\mu|\le\sigma)\ge\frac{9}{10}$ [/mm] für alle [mm] $\sigma\ge\lceil\sigma_{\text{min}}\rceil=26$.
[/mm]
Nun wird auch deutlich, dass wir hier mit der Tschebyscheff-
Ungleichung viel zu groß abgeschätzt haben, obwohl uns das
beim Abschätzen vielleicht nicht unbedingt bewusst war.
Gruß
DieAcht
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Hallo DieAcht,
so geht's natürlich auch, ist aber etwas mehr Aufwand :)
Außerdem wollte ich noch bemerken, dass zumindest nach Aufgabe hier eine strikte Ungleichung [mm] $P(|X-\mu| \le \sigma) \le [/mm] 0.9$ verlangt wird, was man durch eine Approximation natürlich nicht garantieren kann.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Mi 11.03.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Stefan,
> so geht's natürlich auch, ist aber etwas mehr Aufwand :)
Ja, natürlich ist etwas mehr Aufwand erforderlich. Am Anfang war
ich auf der Suche nach dem kleinsten [mm] \sigma\in\IN_0 [/mm] mit
[mm] P(|X-\mu|\le\sigma)\ge\frac{9}{10}.
[/mm]
Dabei habe ich zunächst die Stetigkeitskorrektur unterschlagen,
so dass ich numerisch auf [mm] $\sigma_{\text{min}}=26.0074\$, [/mm] also [mm] \sigma=\lceil\sigma_{\text{min}}\rceil=27 [/mm] gekommen
bin. Mit der Stetigkeitskorrektur bin ich nun auf [mm] $\sigma_{\text{min}}=25.5074\$,
[/mm]
also [mm] \sigma=\lceil\sigma_{\text{min}}\rceil=26 [/mm] gekommen.
(Ich habe das auch schon in meiner Antwort korrigiert.)
Soweit ich weiß, darf man auf die Stetigkeitskorrektur verzichten,
falls die Standardabweichung sehr groß ist. Gibt es dafür einen
Richtwert?
> Außerdem wollte ich noch bemerken, dass zumindest nach
> Aufgabe hier eine strikte Ungleichung [mm]P(|X-\mu| \le \sigma) \le 0.9[/mm]
> verlangt wird, was man durch eine Approximation natürlich
> nicht garantieren kann.
Das stimmt, denn es gilt:
[mm] P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx\Phi\left(\frac{\sigma+0.5}{\nu}\right)-\Phi\left(\frac{-(\sigma+0.5)}{\nu}\right).
[/mm]
Hierfür habe ich hier noch eine weitere Approximation gefunden.
So ganz verstehe ich diese Approximation am Ende aber leider nicht
und ich glaube, dass man sie bei diesem Problem nicht anwenden kann.
Wenn wir allerdings ohne Approximationen arbeiten wollen und weiter-
hin nur [mm] \sigma\in\IN_0 [/mm] betrachten, dann sollte man sich wohl
[mm] P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)=\left(\frac{1}{2}\right)^{1000}\sum_{k=500-\sigma}^{500+\sigma}\vektor{1000 \\ k} [/mm] für [mm] \sigma\in\{0,1\ldots,500\}
[/mm]
genauer anschauen. Ich bin hier aber noch am Überlegen. 
Ansonsten ist bezüglich der Aufgabenstellung folgendes zu lösen:
[mm] \min_{\sigma\in\{0,1\ldots,500\}}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{1000}\sum_{k=500-\sigma}^{500+\sigma}\vektor{1000 \\ k}\overset{!}{\ge}\frac{9}{10}\right).
[/mm]
(Die Schreibweise am Ende ist mit Absicht nicht sauber aufgeschrieben,
damit man noch erkennt um was es geht. Zum Glück erhält man hier auch
als Lösung [mm] \sigma=26.)
[/mm]
Gruß
DieAcht
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