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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Do 20.06.2013 | | Autor: | physicus |
Hi Ho Forum
Ich habe zwei Funktionen [mm] $\rho,\phi$ [/mm] von [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] in die rellen Zahlen. Dabei ist [mm] $\rho$ [/mm] positive homogen [mm] $\forall \lambda>0:\rho(\lambda x)=\lambda\rho(x)$, [/mm] subadditiv und translations invariant: [mm] $\froall c\in\mathbb{R}^n:\rho(x+c)=\rho(x)-c$. $\phi$ [/mm] is sogar linear. Nun nehmen wir an, dass für jedes [mm] $a\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^n$: $\rho(x)>-a\Rightarrow \phi(x)>-a$. [/mm] Daraus will ich nun folgern, dass [mm] $\rho(x)\le \phi(x)$ [/mm] für alle $x$.
Ich wollte dies durch Widerspruch zeigen: Nehmen wir an, dass es ein $x$ gibt, so dass [mm] $\rho(x)> \phi(x)$. [/mm] Ich möchte natürlich zeigen, dass aus [mm] $\rho(x)>-a$ [/mm] nicht mehr folgt [mm] $\phi(x)>-a$. [/mm] Wie muss ich denn das $a$ wählen?
Danke / Gruss
phyiscus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Do 20.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Ho Forum
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> Ich habe zwei Funktionen [mm]\rho,\phi[/mm] von [mm]\mathbb{R}^n[/mm] in die
> rellen Zahlen. Dabei ist [mm]\rho[/mm] positive homogen [mm]\forall \lambda>0:\rho(\lambda x)=\lambda\rho(x)[/mm],
> subadditiv und translations invariant: [mm]\froall c\in\mathbb{R}^n:\rho(x+c)=\rho(x)-c[/mm].
> [mm]\phi[/mm] is sogar linear. Nun nehmen wir an, dass für jedes
> [mm]a\in\mathbb{R},x\in\mathbb{R}^n[/mm]: [mm]\rho(x)>-a\Rightarrow \phi(x)>-a[/mm].
> Daraus will ich nun folgern, dass [mm]\rho(x)\le \phi(x)[/mm] für
> alle [mm]x[/mm].
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> Ich wollte dies durch Widerspruch zeigen: Nehmen wir an,
> dass es ein [mm]x[/mm] gibt, so dass [mm]\rho(x)> \phi(x)[/mm]. Ich möchte
> natürlich zeigen, dass aus [mm]\rho(x)>-a[/mm] nicht mehr folgt
> [mm]\phi(x)>-a[/mm]. Wie muss ich denn das [mm]a[/mm] wählen?
[mm] a:=-\phi(x)
[/mm]
FRED
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> Danke / Gruss
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> phyiscus
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