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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:45 Mi 24.11.2004 | | Autor: | moebak |
Hallo,
habe mich seit gestern mit dieser dummen Ungleichung beschäftigt, komme aber weder mit Fallunterscheidung, noch mit Umformung weiter.
Brauche dringend eure HILFE:
[mm] \wurzel{(x-1)^2}>1/2 [/mm] |x|.
Kann mir da jemand helfen.
Danke
Gruß
moebak
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Die Wurzel eines Quadrats ist immer ein Betrag. Also gilt
[mm] \wurzel{(x -1)²} [/mm] > 0,5*|x|
-> |x -1| > 0,5*>|x|
Da hier zwei Beträge auftauchen, braucht man 4 Fallunterscheidungen.
1. Fall:
x - 1 > 0 und x >1
-> x > 1 und x > 0
-> Definitionsmenge: x > 1
Dann gilt:
x - 1 > 0,5*x
x > 2
-> Lösungsmenge (schnittmenge von Definitions- und Wertebereich): ]2;unendlich]
2. Fall:
x - 1 > 0 und x < 0
-> x > 1 und x < 0
-> Definitionsmenge: leere Menge
Wir brauchen nicht weiterrechnen
3. Fall:
x -1 < 0 und x > 0
-> x < 1 und x > 0
-> Definitionsmenge: 0 < x < 1
Dann gilt:
-x + 1 > 0,5*x
x < 2/3
-> Lösungsmenge ]0;2/3[
4. Fall:
x - 1 < 0 und x < 0
x < 1 und x < 0
-> Definitionsmenge: x < 0
Dann gilt:
-x + 1 > -0,5*x
x < 2
-> Lösungsmenge: x < 0
Gesamtlösung: Die Ungleichung ist für alle x < 2/3 und x > 2 erfüllt
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Hallo zusammen
für den Fall, daß beide Seiten Beträge sind oder andersweitig feststeht dasß beide Seiten [mm] $\ge [/mm] 0$ sind,
kann man auch qudrieren und die Betragsstriche weglassen.
Für dieses Beispiel ergibt sich dann, mit derselgen Lösung ( x - 2/3)(x - 2) > 0
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