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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:06 So 16.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
| Aufgabe | Sei a,b [mm] \in \IR, [/mm] und es gelte a [mm] \le [/mm] b + [mm] \varepsilon [/mm] für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Zeigen Sie a [mm] \le [/mm] b.
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Also habe ich folgende Information:
a [mm] \le [/mm] b + [mm] \varepsilon [/mm] für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Wie zeigt man sowas? Man hat doch gar keine Informationen über a und b, außer dass b mit epsilon zusammen größer als a ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das ist so eine typische "das kann doch sowieso nicht sein"-Aufgabe. Die Behauptung scheint allzu offensichtlich.
Das ist dann fast immer mit "und wenn es doch so wäre?" zu beweisen, also indirekt.
Nimm einfach mal das vereinfachte Gegenteil an, a>b.
Dann unterscheiden sich die beidem um ein [mm] \Delta.
[/mm]
Wenn Du das mit [mm] \varepsilon [/mm] in Beziehung setzt, bist Du eigentlich fertig.
Danach weißt Du auch, warum Du sogar das [mm] \Delta [/mm] eliminieren kannst.
Das klappt nicht nur für [mm] a,b\in\IR, [/mm] sondern auch für [mm] \IQ, \IN [/mm] und [mm] \IZ [/mm] dann, wenn [mm] \varepsilon\in\IQ [/mm] oder [mm] \IR.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:59 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei a,b [mm]\in \IR,[/mm] und es gelte a [mm]\le[/mm] b + [mm]\varepsilon[/mm] für
> jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0. Zeigen Sie a [mm]\le[/mm] b.
>
>
> Also habe ich folgende Information:
> a [mm]\le[/mm] b + [mm]\varepsilon[/mm] für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0
>
> Wie zeigt man sowas? Man hat doch gar keine Informationen
> über a und b, außer dass b mit epsilon zusammen größer als
> a ist.
mach' es so (und im Prinzip ist das kein Widerspruchsbeweis, sondern eher ein Beweis durch Kontraposition):
Zeige:
Falls $a > [mm] b\,,$ [/mm] so existiert ein [mm] $\varepsilon_0>0$ [/mm] so, dass $a > [mm] b+\varepsilon_0\,.$
[/mm]
Dazu setze im Falle [mm] $a\,>\,b$ [/mm] dann [mm] $\varepsilon_0:=\frac{a-b}{2}\,.$
[/mm]
Deine Aufgabe ist es nun zu begründen, dass dieses [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] ($>0$) auch wirklich so gefunden ist, dass $a > [mm] b+\varepsilon_0$ [/mm] gilt.
P.S.:
Überlege Dir, dass es auch viele andere Möglichkeiten gegeben hätte, ein solches [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ anzugeben. Versuch' auch mal, ein anderes $0 < [mm] \varepsilon_0\!\,' \not=\varepsilon_0$ [/mm] anzugeben, dass auch $a > [mm] b+\varepsilon_0\!\,'$ [/mm] erfüllt hätte. Aber es reicht ja, im Falle $a [mm] \,>\,b$ [/mm] schon nur ein "Ausnahme - [mm] $\,\varepsilon$" ($\,>\,0$) [/mm] zu finden.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 16.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Wie kommt man genau auf $ [mm] \varepsilon_0:=\frac{a-b}{2}\,. [/mm] $ ?
Wieso wird das durch 2 geteilt?
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Marcel schrieb "setze [mm] \varepsilon"...
[/mm]
Er hätte auch irgendein anderes [mm] \varepsilon [/mm] nehmen können, das zwischen 0 und a-b liegt, also irgendein [mm] \varepsilon=q(a-b) [/mm] mit 0<q<1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 So 16.11.2008 | | Autor: | Hummel89 |
Könnte man $ [mm] \varepsilon_0:=\frac{a-b}{2}\,. [/mm] $ einfach in $ a > [mm] b+\varepsilon_0 [/mm] $ einsetzen, um dies zu zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 16.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Könnte man [mm]\varepsilon_0:=\frac{a-b}{2}\,.[/mm] einfach in [mm]a > b+\varepsilon_0[/mm]
> einsetzen, um dies zu zeigen?
ja, Du solltest es allerdings solange äquivalent umformen, bis Du zu einer wahren Aussage gelangst. Wichtig ist dann, dass Du so mithilfe der [mm] $\Leftarrow$'s [/mm] dann aus der wahren Aussage die Behauptung folgerst, das ist der eigentliche Beweis.
Gruß,
Marcel
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