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Forum "Sonstiges" - Ungleichungen
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Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:37 Do 11.06.2009
Autor: hase-hh

Aufgabe
Für welche x [mm] \in [/mm] R ist

a)  [mm] \bruch{|x+1|*|x+4|}{|x^2+2x+1|} \le [/mm] 1

b) [mm] \bruch{3-x}{5+x} \ge \bruch{4-x}{2+x} [/mm]


Moin,

wie löse ich diese Aufgaben?

zu a)

[mm] D_f [/mm] = R \ {-1}  

und der Nenner ist eine binomische Formel   [mm] x^2+2x+1 [/mm] = [mm] (x+1)^2 [/mm]

Aber wie jetzt weiter? Macht es Sinn (x+1) zu kürzen?

zu b)

[mm] D_f [/mm] = R \  { -5 ; -2 }


1. Fall x< -5  sind beide Nenner negativ =>

(3-x)*(2+x) [mm] \ge [/mm] (4-x)*(5+x)


2. Fall    -5 <x < -2 ist ein Nenner negativ =>

(3-x)*(2+x) [mm] \le [/mm] (4-x)*(5+x)


3.  Fall  x> -2

s. 1. Fall


Danke & Gruß







        
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Do 11.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo

a) bedeutet doch

|x+1|*|x+4| [mm] \le |x^{2}+2x+1| [/mm] für x [mm] \not= [/mm] -1

[mm] x^{2}+2x+1 [/mm] ist für alle x [mm] \ge0, [/mm] damit hast du also keine Probleme, du brauchst keine Betragsstriche schreiben

|x+1|*|x+4| [mm] \le x^{2}+2x+1 [/mm]

|x+1|*|x+4| [mm] \le [/mm] (x+1)*(x+1)

jetzt beginnen deine Probleme, wird bei einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so kehrt sich das Relationszeichen um, jetzt überlege, die die Fälle

(1) x [mm] \le [/mm] -4
(2) -4 [mm] \le [/mm] x < -1
(3) -1 < x

Steffi

Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Do 11.06.2009
Autor: abakus


> Hallo
>  
> a) bedeutet doch
>
> |x+1|*|x+4| [mm]\le |x^{2}+2x+1|[/mm] für x [mm]\not=[/mm] -1
>  
> [mm]x^{2}+2x+1[/mm] ist für alle x [mm]\ge0,[/mm] damit hast du also keine
> Probleme, du brauchst keine Betragsstriche schreiben
>  
> |x+1|*|x+4| [mm]\le x^{2}+2x+1[/mm]
>  
> |x+1|*|x+4| [mm]\le[/mm] (x+1)*(x+1)
>  
> jetzt beginnen deine Probleme, wird bei einer Ungleichung
> mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so
> kehrt sich das Relationszeichen um, jetzt überlege, die die
> Fälle

Hallo,
die Probleme beginnen vor allem, wenn man sich hier (so wie du) das Leben selbst schwer macht.
Da [mm] x^2+2x+1 [/mm] nicht negativ wird, muss man es nicht zwingend als [mm] (x+1)^2 [/mm] schreiben.
Auch |x+1|*|x+1| ist möglich (und hier vorteilhaft).
Gruß Abakus

>  
> (1) x [mm]\le[/mm] -4
>  (2) -4 [mm]\le[/mm] x < -1
>  (3) -1 < x
>  
> Steffi


Bezug
                        
Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:34 Do 11.06.2009
Autor: Steffi21

Danke Abakus, das Lernen hört eben nie auf, Steffi

Bezug
        
Bezug
Ungleichungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Fr 12.06.2009
Autor: hase-hh


> zu b)
>
> [mm] D_f [/mm] = R  \  { -5 ; -2 }
>  
>
> 1. Fall x< -5  sind beide Nenner negativ =>
>  
> (3-x)*(2+x) [mm]\ge[/mm] (4-x)*(5+x)

6 +x [mm] -x^2 \ge [/mm] 20 -x [mm] -x^2 [/mm]

6 +x [mm] \ge [/mm] 20 -x

x [mm] \ge [/mm] 7    vorausgesetzt war  x < -5   => keine Lösungen für x < -5

aber s. 3. Fall
  

> 2. Fall    -5 <x < -2 ist ein Nenner negativ =>
>  
> (3-x)*(2+x) [mm]\le[/mm] (4-x)*(5+x)

  
6 +x [mm] -x^2 \le [/mm] 20 -x [mm] -x^2 [/mm]

x [mm] \le [/mm] 7

x [mm] \le [/mm] 7    vorausgesetzt war -5 < x < -2   => ] -5; -2 [

> 3.  Fall  x> -2

>

> s. 1. Fall

x [mm] \ge [/mm] 7    vorausgesetzt war  x > -2   => Lösungen [7; [mm] \infty] [/mm]
  

Ist das jetzt richtig?


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Bezug
Ungleichungen: sieht gut aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Fr 12.06.2009
Autor: Roadrunner

Hallo hase-hh!


Das sieht soweit gut aus. [ok] Wie lautet also die Gesamtlösungsmenge?


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Fr 12.06.2009
Autor: hase-hh

L = { x | x [mm] \in [/mm] ] -5 ; -2 [ v [ 7; [mm] \infty] [/mm] }

Bezug
        
Bezug
Ungleichungen: Frage (bearbeitet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Fr 12.06.2009
Autor: hase-hh

***Habe gerade das Ungleichheitszeichen verwechselt !!! --- daher ein paar Korrekturen ... ***


zu a)

[mm] \bruch{|x+1|*|x+4|}{|x^2+2x+1|} \le [/mm] 1

wenn ich das richtig verstanden habe, macht es sinn zu kürzen???

[mm] \bruch{|x+1|*|x+4|}{|x+1||x+1|} \le [/mm] 1

[mm] \bruch{|x+4|}{|x+1|} \le [/mm] 1


1. Fall x > -1

x+4 [mm] \le [/mm] x + 1  falsche Aussage => keine Lösung in diesem Bereich


2. Fall  -4 < x < -1

[mm] \bruch{|x+4|}{|x+1|} \le [/mm] 1

x+4 [mm] \ge [/mm] x+1

4 [mm] \ge [/mm] 1  wahre Aussage => ] -4 ; -1 [


3. Fall  x< -4

s. 1. Fall ; keine weiteren Lösungen

Ist das so richtig?

























Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Fr 12.06.2009
Autor: Roadrunner

Hallo hase-hh!


> zu a)
>  
> [mm]\bruch{|x+1|*|x+4|}{|x^2+2x+1|} \ge[/mm] 1
>  
> wenn ich das richtig verstanden habe, macht es sinn zu
> kürzen???

[ok]

  

> [mm]\bruch{|x+1|*|x+4|}{|x+1||x+1|} \ge[/mm] 1
>  
> [mm]\bruch{|x+4|}{|x+1|} \ge[/mm] 1

[ok]

  

> 1. Fall x > -1
>
> [mm]x^2[/mm] +5x +4 [mm]\ge[/mm] 1

[aeh] Wie kommst Du hier auf eine quadratische Gleichung?


Gruß vom
Roadrunner


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Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Fr 12.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo, kann es sein, dein Relationszeichen hast du zur ursprünglichen Aufgabe vertauscht?? Steffi

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Bezug
Ungleichungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Fr 12.06.2009
Autor: hase-hh

Upps. Stimmt. Da hab ich wohl gerade was verwechselt. Es gilt die ursprüngliche Aufgabenstellung!!

Danke für den Hinweis!!

Bezug
                
Bezug
Ungleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Fr 12.06.2009
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] \bruch{|x+4|}{|x+1|}\le1 [/mm]

1. Fall:

x>-1

[mm] \bruch{x+4}{x+1}\le1 [/mm]

x+4 [mm] \le [/mm] x+1

4 [mm] \le [/mm] 1 hier hast sicherlich einen Schreibfehler, falsche Aussage

2. Fall:

-4 [mm] \le [/mm] x < 1

[mm] \bruch{x+4}{-(x+1)} \le [/mm] 1

x+4 [mm] \le [/mm] -x-1

2x [mm] \le [/mm] -5

x [mm] \le [/mm] -2,5

3. Fall:

x<-4

[mm] \bruch{-(x+4)}{-(x+1)} \le [/mm] 1

-x-4 [mm] \le [/mm] -x-1

-4 [mm] \le [/mm] -1 wahre Aussage

jetzt kannst du sicherlich die Lösungsmenge angeben,

Steffi


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