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| Aufgabe | Bestimmen Sie die vollständigen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen. Dies soll durch äquivalente Umformungen geschehen.
a) |x²+2x| > x+2
b) | |2y-4| -4| [mm] \ge [/mm] 3 |
Hallo liebe community,
ich habe ein paar Fragen zu der Aufgabe oben.
Zuerst a)
|x²+2x| > x+2
[mm] \gdw [/mm] -(x+2) > (x²+2x) > (x+2)
[mm] \gdw [/mm] -(x+2) > x(x+2) > (x+2) | :(x+2)
[mm] \gdw [/mm] - 1 > x > 1
[mm] \gdw [/mm] L = [mm] (-\infty,-1) \cup (1,\infty)
[/mm]
so hätte ich die erste Aufgabe gelöst. Wäre das korrekt so? Ich habe auch eine Zeichnung dazu angefertigt, in der ich zuerst |x²+2x| und danach x+2 eingetragen habe ( ins Koordinatensystem ). Gesucht sind ja die X-Werte, an denen die jeweiligen Y-Werte von |x²+2x| größer sind als die von x+2. Oder verstehe ich das falsch?
Bei b)
||2y-4|-4| [mm] \ge [/mm] 3
Hier habe ich zuerst aus |2y-4| dann |((x+4)/2)| gemacht.
Also x=2y-4 => y=((x+4)/2) darf man das???
Dann hätte ich die Lösungsmenge von ||((x+4)/2)|-4| herauszufinden.
[mm] \gdw [/mm] |((x+4)/2)|-4 [mm] \le [/mm] -3 [mm] \vee [/mm] |((x+4)/2)|-4 [mm] \ge [/mm] 3
[mm] \gdw [/mm] |((x+4)/2)| [mm] \le [/mm] 1 [mm] \vee [/mm] |((x+4)/2)| [mm] \ge [/mm] 7
[mm] \gdw [/mm] -1 [mm] \le [/mm] ((x+4)/2) [mm] \le [/mm] 1 [mm] \vee [/mm] ((x+4)/2) [mm] \le [/mm] -7 [mm] \vee [/mm] ((x+4)/2) [mm] \ge [/mm] 7
[mm] \gdw [/mm] -6 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] -2 [mm] \vee [/mm] x [mm] \le [/mm] -18 [mm] \vee [/mm] x [mm] \ge [/mm] 10
[mm] \gdw [/mm] L= [mm] (-\infty,-18]\cup[-6,-2]\cup[10,\infty)
[/mm]
Falls das falsch ist, ist es egal ob da ein Y oder ein X steht?
MfG Mojo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie die vollständigen Lösungsmengen der
> folgenden Ungleichungen. Dies soll durch äquivalente
> Umformungen geschehen.
>
> a) |x²+2x| > x+2
>
> Zuerst a)
ja, b) darf jemand anderes angucken 
> |x²+2x| > x+2
Schreibe das bitte so: $|x^2+2x| > x+2$
Manchmal schreiben Leute nämlich Exponenten innerhalb von Formeln so,
wie Du sie geschrieben hast, und dann sieht man sie gar nicht mehr...
> [mm]\gdw[/mm] -(x+2) > (x²+2x) > (x+2)
Das ist schon falsch. Welche Annahme stellst Du hier denn an [mm] $x+2\,$
[/mm]
die Du aber verschweigst? (Denk' über sowas wie Negativität nach!)
Welchen Fall hast Du hier also vorliegen (und nur in diesem Fall machen
die [mm] $\gdw$ [/mm] Sinn).
> [mm]\gdw[/mm] -(x+2) > x(x+2) > (x+2) | :(x+2)
Wenn Du durch [mm] $x+2\,$ [/mm] dividierst, dann:
1. Es muss sichergestellt sein, dass Du nicht durch Null teilst!!
Und 2.:
Erinnerst Du Dich an sowas:
$3 < [mm] 4\;\;\;\;\; \substack{ \blue{\text{Multipl. mit }-\,1 < 0}\\\blue{\Longrightarrow} \\ \\ \red{\text{Division durch }-\,1 < 0}\\\red{\Longleftarrow}}\;\;\;\;\; [/mm] (-1)*3=-3 [mm] \text{\green{ >} } (-1)*4=-4\,.$
[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] - 1 > x > 1
Interessant: Daraus folgt $-1 > [mm] 1\,.$ [/mm] Wodran liegt dieser Unsinn nun wohl?
> [mm]\gdw[/mm] L = [mm](-\infty,-1) \cup (1,\infty)[/mm]
Teste mal Deine Lösungsmenge [mm] $L\,$ [/mm] mit $x=-1,5 [mm] \in L\,.$ [/mm] Nebenfrage: Du erzählst unten,
dass Du Dir die Graphen angeguckt hast. Wenn Du das getan hast, solltest Du sehen,
dass "die richtige Lösungsmenge hier" [mm] $\IL=(-\infty,\,\red{\;-\;\,2}) \blue{\;\cup\;(-2,-1)\;}\cup (1,\infty)$ [/mm] ist!
Edit: Korrigiert!!
> so hätte ich die erste Aufgabe gelöst. Wäre das korrekt
> so?
Leider nein.
Die Ungleichung
[mm] $|x^2+2x| [/mm] > x+2$
ist stets erfüllt, wenn $x+2 [mm] <0\,,$ [/mm] bzw. wegen $x+2 < [mm] 0\iff [/mm] x < [mm] -2\,,$ [/mm] wenn [mm] $x<-2\,$ [/mm] ist.
Daher ist schonmal [mm] $(-\infty,-2) \subseteq \IL$ [/mm] mit [mm] $\IL:=\{x \in \IR:\;|x^2+2x| > x+2\}\,.$
[/mm]
Ohne Einschränkung sei also im Folgenden $x+2 [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Jetzt darfst Du nochmal rechnen:
[mm] $|x^2+2x| [/mm] > x+2 [mm] \iff [/mm] -(x+2) [mm] \red{\;<\;} x^2+2x \red{\;<\;} [/mm] x+2$
und dann - sofern Du den Fall [mm] $x=-2\,$ [/mm] erstmal separat behandelt hast, Dir überlegen,
was bei "Division" durch $x+2 > [mm] 0\,$ [/mm] folgt (und dann umgekehrt bei Multiplikation mit $x+2 > [mm] 0\,.$)
[/mm]
> Ich habe auch eine Zeichnung dazu angefertigt, in der
> ich zuerst |x²+2x| und danach x+2 eingetragen habe ( ins
> Koordinatensystem ).
Schon klar. Hilfreich übrigens, um den Graphen von $x [mm] \mapsto |x^2+2x|$ [/mm] zu zeichnen:
[mm] $|x^2+2x|=|(x+1)^2-1|$
[/mm]
> Gesucht sind ja die X-Werte, an denen
> die jeweiligen Y-Werte von |x²+2x| größer sind als die
> von x+2. Oder verstehe ich das falsch?
Nö, stimmt - genau diese [mm] $x\,$-Werte [/mm] sind gesucht. Und $x [mm] \mapsto |x^2+2x|$ [/mm] liefert - siehe oben - nichts
anderes als folgendes: Nehme eine Normalparabel, verschiebe sie um [mm] $1\,$ [/mm] NACH links und [mm] $1\,$ [/mm] nach
unten (Scheitelpunkt [mm] $(-1|-1)\,$) [/mm] und "klappe alles, was unter der [mm] $x\,$-Achse [/mm] liegt, nach oben"!
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Bestimmen Sie die vollständigen Lösungsmengen der
> folgenden Ungleichungen. Dies soll durch äquivalente
> Umformungen geschehen.
>
> a) |x²+2x| > x+2
>
> b) | |2y-4| -4| [mm]\ge[/mm] 3
> Bei b)
>
> ||2y-4|-4| [mm]\ge[/mm] 3
>
> Hier habe ich zuerst aus |2y-4| dann |((x+4)/2)| gemacht.
Hä? Wo kommt das x her???
> Also x=2y-4 => y=((x+4)/2) darf man das???
Wenn du nicht mal erklärst, was du da machst, wie soll man das beantworten?
>
> Dann hätte ich die Lösungsmenge von ||((x+4)/2)|-4|
> herauszufinden.
Wieso soll das eine LÖsungsmenge haben, es ist ein Term?
>
> [mm]\gdw[/mm] |((x+4)/2)|-4 [mm]\le[/mm] -3 [mm]\vee[/mm] |((x+4)/2)|-4 [mm]\ge[/mm] 3
> [mm]\gdw[/mm] |((x+4)/2)| [mm]\le[/mm] 1 [mm]\vee[/mm] |((x+4)/2)| [mm]\ge[/mm] 7
> [mm]\gdw[/mm] -1 [mm]\le[/mm] ((x+4)/2) [mm]\le[/mm] 1 [mm]\vee[/mm] ((x+4)/2) [mm]\le[/mm] -7 [mm]\vee[/mm]
> ((x+4)/2) [mm]\ge[/mm] 7
> [mm]\gdw[/mm] -6 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] -2 [mm]\vee[/mm] x [mm]\le[/mm] -18 [mm]\vee[/mm] x [mm]\ge[/mm] 10
> [mm]\gdw[/mm] L= [mm](-\infty,-18]\cup[-6,-2]\cup[10,\infty)[/mm]
>
> Falls das falsch ist, ist es egal ob da ein Y oder ein X
> steht?
Selbst wenn man das mit dem x als 'Substitution' ansieht, die völlig unnötig ist, dann kann man in jedem Fall sagen, dass deine LÖsungsmenge falsch ist. Deine Rechnung kann ich nicht nachvollziehen, da solltest du schon deutlich mehr auf Lesbarkeit und Nachvollziehbarkeit (Kommentieren!) achten, damit man zielführend helfen kann.
Ich würde an deiner Stelle das ganze nochmal neu rechnen. Verzichte auf die unsinnige Substitution. Tipp: die LÖsungsmenge besteht aus zwei Intervallen, nicht aus drei.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Diophant,
mir fällt gerade auf: Wenn er doch bei der ersten Aufgabe die Lösungsmenge
mit den Graphen der Funktionen kontrolliert hat (besser wohl eher:
kontrollieren wollte):
Das kann er hier auch tun - mich wundert, dass er das nicht getan hat ^^
Vielleicht sollten wir mal "Plotbilder" nachliefern?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Do 02.05.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> Hi Diophant,
>
> mir fällt gerade auf: Wenn er doch bei der ersten Aufgabe
> die Lösungsmenge
> mit den Graphen der Funktionen kontrolliert hat (besser
> wohl eher:
> kontrollieren wollte):
>
> Das kann er hier auch tun - mich wundert, dass er das nicht
> getan hat ^^
> Vielleicht sollten wir mal "Plotbilder" nachliefern?
Das Problem ist bei mir gearde, das ständig das Telefon schellt und meine I-Net-Zeit für heute demnächst zu Ende ist. Die Chance, dass ich das heute noch hinbekomme ist nicht sonderlich groß.
Grüße&schönen Abend, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Marcel,
>
> > Hi Diophant,
> >
> > mir fällt gerade auf: Wenn er doch bei der ersten
> Aufgabe
> > die Lösungsmenge
> > mit den Graphen der Funktionen kontrolliert hat (besser
> > wohl eher:
> > kontrollieren wollte):
> >
> > Das kann er hier auch tun - mich wundert, dass er das
> nicht
> > getan hat ^^
> > Vielleicht sollten wir mal "Plotbilder" nachliefern?
>
> Das Problem ist bei mir gearde, das ständig das Telefon
> schellt und meine I-Net-Zeit für heute demnächst zu Ende
> ist. Die Chance, dass ich das heute noch hinbekomme ist
> nicht sonderlich groß.
ich kann die gerne nachliefern. Ich warte aber auch erstmal auf
Rückmeldung - außerdem: Vielleicht sehen wir erstmal seine Plotbilder?
Dir auch 'nen schönen Abend und Grüße,
Marcel
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Danke für eure Bemühungen, auch wenn man manchmal das Gefühl hat, es wird sich über einen lustig gemacht ;)
Habe jetzt beide Aufgaben gelöst.
Bei der ersten ist die Lösungsmenge [mm] \IL [/mm] = [mm] (-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup(1,\infty)
[/mm]
Bei der zweiten habe ich das "substituieren" sein lassen. Es sollte übrigens keins sein sondern andere Art an das Problem ranzugehen, welche sich als falsch erwiesen hat.
Die zweite Lösungmenge ist [mm] \IL=(-\infty,-3/2]\cup[3/2,5/2]\cup[11/2,\infty)
[/mm]
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Hallo,
> Danke für eure Bemühungen, auch wenn man manchmal das
> Gefühl hat, es wird sich über einen lustig gemacht ;)
nein, weshalb denn? Fakt ist: du hast eine Frage gestellt, weil du Hilfe haben möchtest. Das ist soweit völlig normal und die INtention dieses Forums. In diesem Forum arbeiten alle Mitglieder ehrenamtlich aus Freude an der Sache mit, und viele machen das neben ihrer Berufstätigkeit her (so wie ich beispielsweise). Insofern ist es - und es ist mir auch völlig egal, ob du das altmodisch findest - nicht zu viel verlangt von den Fragestellern, dass sie ihre eigenen Rechnungen lesbar präsentieren und das auch eine essentielle Vorarbeit in dem Sinn, dass die eigenen Möglichkeiten ausgeschöpft und der Thread gründlich vorbereitet wurde, der Frage voraus geht. Dies anzumahnen, auch wenn es mal eher humorvoll passiert, hat sicherlich nichts damit zu tun, dass wir uns über jemand lustig machen wollen!
>
> Habe jetzt beide Aufgaben gelöst.
>
> Bei der ersten ist die Lösungsmenge [mm]\IL[/mm] =
> [mm](-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup(1,\infty)[/mm]
>
Da musst du warten, was Marcel dazu sagt, die habe ich nicht gerechnet.
> Bei der zweiten habe ich das "substituieren" sein lassen.
> Es sollte übrigens keins sein sondern andere Art an das
> Problem ranzugehen, welche sich als falsch erwiesen hat.
>
> Die zweite Lösungmenge ist [mm]\IL (-\infty,-3/2]\cup[3/2,5/2]\cup[11/2,\infty)[/mm]
Hast du meine Antwort durchgelesen? Von wie vielen Intervallen sprach ich? Prüfe deine Schlussfolgerungen bei der Bildung der Lösungsmenge nochmal nach, denn die Schranken kommen in meiner Rechnung sämtlich auch vor. Nur nochmal: es sind zwei Intervalle und nicht drei. Wie kommst du denn auf das mitllere Intervall, die beiden anderen stimmen nämlich jetzt.
Gruß, Diophant
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Ich habe deinen Beitrag gelesen und halte ihn für nicht ganz korrekt.
Das dritte Intervall kommt durch den Betrag der Funktion. Da der Teil unterhalb der X-Achse nach oben geklappt wird, ragt er über y=3 hinaus und hat somit in diesem Intervall einen größeren Y-Wert.
Kläre mich bitte auf warum meine Aussage falsch sein sollte.
Gruß
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Hallo,
Da muss ich mich entschuldigen: deine letzte Version zur b) ist richtig, ich hatte mich verrechnet.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für eure Bemühungen, auch wenn man manchmal das
> Gefühl hat, es wird sich über einen lustig gemacht ;)
nö! Späße machen wir mal, aber solange Du Dich anständig benimmst,
veräppel ich Dich jedenfalls nicht.
> Habe jetzt beide Aufgaben gelöst.
>
> Bei der ersten ist die Lösungsmenge [mm]\IL[/mm] =
> [mm](-\infty,-2)\cup(-2,-1)\cup(1,\infty)[/mm]
Das passt immer noch nicht, das hatte ich aber auch geschrieben.
Edit: Quatsch, Du hast recht!! Da muss ich aber den Fehler bei der anderen
Antwort noch korrigieren ^^
(Ich hatte wohl gar nicht zu Ende gerechnet!)
Also: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) |x²+2x| > x+2
es gibt hier verschiedene Möglichkeiten, Plots anzufertigen. Die erste ist,
einfach zwei Graphen zu plotten (das ist hier die sinnvollere, wenn man
kein Plotprogramm zur Verfügung hat und "von Hand" plotten, also
zeichnen, muss):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man schaut, wo der rote Graph echt oberhalb des grünen verläuft!
Alternativ:
[mm] $$|x^2+2x| [/mm] > x+2 [mm] \iff f(x):=|x^2+2x|-x-2 [/mm] > [mm] 0\,.$$
[/mm]
Man schaut, wo der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] echt oberhalb der [mm] $x\,$-Achse [/mm] verläuft.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> b) | |2y-4| -4| [mm]\ge[/mm] 3
Hier ersetzt man einfach [mm] $y\,$ [/mm] durch die passende Funktionsvariable (bei
mir [mm] $x\,$). [/mm] Analog zu oben kann man wieder die linke Seite als
Funktionsdefinierenden Term und die rechte als einen solchen auffassen
(rechts steht dann die Funktion konstant 3) etc. pp.
Ich zeige nun einfach den Verlauf des Graphen von
$$x [mm] \mapsto |\;\;|2x-4|-4\;\;|\;\;\;\;-\;\;3\,.$$
[/mm]
Dann schaut man, an genau welchen Stellen dieser Graph oberhalb (nicht
notwendig echt!) der [mm] $x\,$-Achse [/mm] verläuft!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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