Ungleichungen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
zum üben habe ich mir noch das lösen einer Ungleichung vorgenommen:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le [/mm] 1+ [mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}
[/mm]
also den rechten Term kann ich ja umschreiben zu
1+ [mm] \summe_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}
[/mm]
und ich weiß ja auch, dass k! [mm] \ge 2^{k-1} [/mm] (habe ich per Induktion bewiesen)
aber wie kann ich die Ungleichung nun weiter beweisen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> zum üben habe ich mir noch das lösen einer Ungleichung
> vorgenommen:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le[/mm] 1+
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
>
> also den rechten Term kann ich ja umschreiben zu
> 1+ [mm]\summe_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}[/mm]
> und ich weiß ja auch, dass k! [mm]\ge 2^{k-1}[/mm] (habe ich per
> Induktion bewiesen)
> aber wie kann ich die Ungleichung nun weiter beweisen?
Zu zeigen: [mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0
[/mm]
Tipp: [mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\gdw 1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\gdw\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\le\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}
[/mm]
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
> > zum üben habe ich mir noch das lösen einer Ungleichung
> > vorgenommen:
> > [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le[/mm] 1+
> > [mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
> >
> > also den rechten Term kann ich ja umschreiben zu
> > 1+ [mm]\summe_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}[/mm]
> > und ich weiß ja auch, dass k! [mm]\ge 2^{k-1}[/mm] (habe ich
> per
> > Induktion bewiesen)
> > aber wie kann ich die Ungleichung nun weiter beweisen?
>
> Zu zeigen: [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
>
> Tipp: [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\gdw 1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\gdw\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\le\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
vergucke ich mich oder ist das 3 mal hintereinander die selbe Ungleichung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> > > zum üben habe ich mir noch das lösen einer Ungleichung
> > > vorgenommen:
> > > [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le[/mm] 1+
> > > [mm]\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
> > >
> > > also den rechten Term kann ich ja umschreiben zu
> > > 1+ [mm]\summe_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^{k}}[/mm]
> > > und ich weiß ja auch, dass k! [mm]\ge 2^{k-1}[/mm] (habe ich
> > per
> > > Induktion bewiesen)
> > > aber wie kann ich die Ungleichung nun weiter
> beweisen?
> >
> > Zu zeigen: [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IN_0[/mm]
> >
> > Tipp: [mm]\summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\gdw 1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}\gdw\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\le\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
>
> vergucke ich mich oder ist das 3 mal hintereinander die
> selbe Ungleichung?
>
Es sind Äquivalenzumformungen!
Nochmal für dich:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] 1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!} \le1+\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}
[/mm]
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\le\summe_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}
[/mm]
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 So 01.12.2013 | | Autor: | Maya1905 |
jetzt seh ichs..danke 
reicht jetzt die Induktion mit k! [mm] \ge 2^{k-1} [/mm] als Beweis für die Richtigkeit der Ungleichung?
|
|
|
| |
|
Hallo Maya,
> jetzt seh ichs..danke
> reicht jetzt die Induktion mit k! [mm]\ge 2^{k-1}[/mm] als Beweis
> für die Richtigkeit der Ungleichung?
Diese Frage musst Du selbst beantworten können.
Vergleiche die Summen doch mal gliedweise.
Und frag nicht nach jedem Komma, sondern tu zwischendurch selbst etwas. Das ist kein Chatraum hier. Du hast mindestens zwei Threads gleichzeitig geöffnet und eigentlich höchstens ein oder zwei Minuten, die Dir zur Verfügung stehen, bevor Du die nächste Nachfrage stellst - und jetzt? Was mache ich dann?
Das hilft Dir doch nicht weiter. In die Klausur kannst Du dieses Forum nicht mitnehmen, da musst Du die Aufgaben selber lösen können.
Grüße
reverend
|
|
|
|
