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Hallo zusammen,
kann mir vielleicht jemand beim lösen folgender Ungleichungen helfen??
Bekomme sie einfach nicht vernünftig nach n aufgelöst:
1) [mm] 4n^2<16n log_{2}n
[/mm]
2) [mm] 10n^2<2^n
[/mm]
[mm] n\in \IN [/mm] \ {0}
vielen dank für eure Hilfe, viele grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Di 10.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe_depp!
Wie lautet denn hier jeweils die genaue Aufgabenstellung. Denn diese Ungleichungen "riechen" mir irgendwie nach Aufgaben zur vollständigen Induktion.
Geschlossen sind diese Ungleichungen m.E. nicht lösbar. Da bleibt wohl doch nur ausprobieren und der Beweis mittels volständiger Induktion.
Gruß
Loddar
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Die Aufgabenstellung lautet: Bestimmen Sie jeweils die WErte für n, sodass der Algorithmus A schneller ist als der Algorithmus B:
1) A hat Laufzeit [mm] 4n^2
[/mm]
B hat Laufzeit 16n [mm] log_{2}n
[/mm]
2) A hat Laufzeit [mm] 10n^2
[/mm]
B hat Laufzeit [mm] 2^n
[/mm]
Habe dass dann in obige Ungleichung übertragen...(habe ich mir so gedacht)...ja aber beim ausrechnen bekam ich dann leider kein vernünftiges n raus!!!
Hoffe du kannst helfen!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:32 Mi 11.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ungl. durch 4n teilen, [mm] n=2^k
[/mm]
fuert auf [mm] 2^{k-2}
2. ungleichung wegen [mm] 2^{10}=1024, [/mm] sieht man direkt, dass es fuer n=9 umschlaegt. evt. durch induktion zeigen, dass fuer alle groesseren n [mm] 2^n [/mm] groesser bleibt.
Gruss leduart
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hallo,
vielen dank, habs verstanden!!!
bekomme bei a) raus für n>16 und bei b) für n>9 mit werte tabelen!!
Aber per vollständiger induktion bekomme ich das nicht gezeigt, es hardert immer am punkt von n nach n+1!!!
Kann jemand helfen??
Viele GRüße, der mathedepp_No.1
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Hallo,
zur 2)
IV: [mm] n\in\IN [/mm] mit n>10 und [mm] 2^n>10n^2 [/mm] (IV)
Dann ist [mm] 2^{n+1}=2\cdot{}2^n>2\cdot{}10n^2 [/mm] nach IV
[mm] =20n^2=10n^2+10n^2>10n^2+10(n+1) [/mm] da [mm] n^2>n+1
[/mm]
[mm] =10(n^2+n+1)=10(n+1)^2
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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