Ungleichungen lösen (Teil 2) < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $\frac{|x+y|}{1+|x+y|} \le \frac{|x|}{(1+|x|)} [/mm] + [mm] \frac{|y|}{(1+|y|)}$ [/mm] |
Hallo ihr tollen Helfer,
obige Auflösung sei zu lösen.
Zunächst wollte ich, analog zu den Aufgaben in meinem anderen Thread, Fallunterscheidungen machen, was ziemlich umständlich erscheint.
Was ich weiß und zeigen kann ist, dass |x+y| [mm] $\le$ [/mm] |x| + |y| ist.
Recht weiter komme ich aber nicht.
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Eine Ergänzung.
Ich könnte vorher eben beweisen, dass
$|x+y| [mm] \le [/mm] |x| + |y|$
und damit:
[mm] $\frac{|x+y|}{1+|x+y|} \le \frac{|x| + |y|}{1+|x+y|} \le \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|} \le \frac{|x|}{1+|x|+|y|} [/mm] + [mm] \frac{|y|}{1+|x|+|y|} [/mm] $
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Hallo Kartoffelchen,
> [mm]\frac{|x+y|}{1+|x+y|} \le \frac{|x|}{(1+|x|)} + \frac{|y|}{(1+|y|)}[/mm]
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> Hallo ihr tollen Helfer,
>
> obige Auflösung sei zu lösen.
>
> Zunächst wollte ich, analog zu den Aufgaben in meinem
> anderen Thread, Fallunterscheidungen machen, was ziemlich
> umständlich erscheint.
>
> Was ich weiß und zeigen kann ist, dass |x+y| [mm]\le[/mm] |x| + |y|
> ist.
>
> Recht weiter komme ich aber nicht.
>
In Deiner Mitteilung steht diese Ungleichungskette:
[mm] \frac{|x+y|}{1+|x+y|} \le \frac{|x| + |y|}{1+|x+y|} \le \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|} \le \frac{|x|}{1+|x|+|y|} + \frac{|y|}{1+|x|+|y|} [/mm]
Schätze jetzt [mm]\bruch{\vmat{x}}{1+\vmat{x}+\vmat{y}}[/mm] nach oben ab,
in dem Du den Nenner verkleinerst.
Analog für [mm]\bruch{\vmat{y}}{1+\vmat{x}+\vmat{y}}[/mm].
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:31 Mo 18.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Kette der Ungleichungen ist so falsch.
$ [mm] \frac{|x+y|}{1+|x+y|} \le \frac{|x| + |y|}{1+|x+y|}
[/mm]
bis hier richtig. aber da 1+|x+y|<1+|x|+|y|
wird der Nenner im nächsten Schritt vergrößert, der Bruch also verkleinert Bsp setze x=-y
[mm] \le \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|} \le \frac{|x|}{1+|x|+|y|} [/mm] + [mm] \frac{|y|}{1+|x|+|y|} [/mm] $
das ist also i.A. falsch.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Di 19.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Für t [mm] \ge [/mm] 0 betrachte
[mm] f(t):=\bruch{t}{1+t}
[/mm]
Zeige: f ist wachsend.
Es folgt: f(|x+y|) [mm] \le [/mm] f(|x|+|y|)
Wenn Du jetzt noch beachtest, dass
[mm] \bruch{t}{1+t+s} \le \bruch{t}{1+t}
[/mm]
ist (für t, s [mm] \ge [/mm] 0), so hast Du das Gewünschte.
FRED
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