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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 01.05.2010 | | Autor: | niandis |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\left\langle . ,. \right\rangle) [/mm] ein unitärer Raum und || · || die entsprechende induzierte Norm.
Zeigen Sie, dass für alle x, y [mm] \in [/mm] X gilt:
[mm] \left\langle x ,y \right\rangle [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK mit \lambda^4=1} \lambda||\lambda x+y||^2 [/mm] |
Hallo!
Ich steh bei diesem Beweis ein wenig auf dem Schlauch! Die Begriffe sind mir alle klar! D.h. ich weiß was eine unitärer Raum ist, was eine Norm ist, etc. Allerdings hab ich keine Ahnung wie ich an den Beweis ran gehen soll. Ich seh leider keinen logischen Zusammenhang, warum dies gelten sollte!
Ich wär sehr dankbar für etwas Hilfe!
Liebe Grüße!
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> Sei [mm](X,\left\langle . ,. \right\rangle)[/mm] ein unitärer Raum
> und || · || die entsprechende induzierte Norm.
> Zeigen Sie, dass für alle x, y [mm]\in[/mm] X gilt:
> [mm]\left\langle x ,y \right\rangle[/mm] = [mm]\bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK mit \lambda^4=1} \lambda||\lambda x+y||^2[/mm]
>
Hallo,
ich würd mal schauen, ob man's nicht einfach ausrechnen kann.
Hast Du die Summe mal ausgeführt?
Stell fest, über welche [mm] \lambda [/mm] zu addieren ist, und dann tu es doch mal.
Ich könnte mir vorstellen, daß man damit schon zum Ziel kommt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 02.05.2010 | | Autor: | niandis |
Also... Ich habe mich hetzt eine ganze Weile daran versucht das ganze aufzulösen! Komme aber leider immer noch nicht auf eine Lösung!
Also ich bin erstmal davon ausgegangen, dass die induzierte Norm ||x|| = [mm] \wurzel{\left\langle x,x \right\rangle} [/mm] ist und damit [mm] ||\lambda x+y||^2 [/mm] = [mm] \left\langle \lambda x+y,\lambda x+y \right\rangle.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK m it \lambda^4=1} \lambda \left\langle \lambda x+y,\lambda x+y \right\rangle
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK m it \lambda^4=1} \lambda (\left\langle \lambda x,\lambda x \right\rangle [/mm] + [mm] \left\langle \lambda x,y \right\rangle [/mm] + [mm] \left\langle y,\lambda x \right\rangle [/mm] + [mm] \left\langle y,y \right\rangle)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK m it \lambda^4=1} (\lambda \bar \lambda \lambda\left\langle x,x \right\rangle [/mm] + [mm] \lambda \bar \lambda\left\langle x,y \right\rangle [/mm] + [mm] \lambda\lambda \left\langle y,x \right\rangle [/mm] + [mm] \lambda\left\langle y,y \right\rangle)
[/mm]
Weiter komme ich leider nicht! Ich habe keine Ahnung, wie ich es nun hinbekomme, dass die Summe [mm] 4\left\langle x,y \right\rangle [/mm] ergibt.
Wäre super wenn mir da nochmal jemand helfen könnte!
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> Also... Ich habe mich hetzt eine ganze Weile daran versucht
> das ganze aufzulösen! Komme aber leider immer noch nicht
> auf eine Lösung!
> Also ich bin erstmal davon ausgegangen, dass die
> induzierte Norm ||x|| = [mm]\wurzel{\left\langle x,x \right\rangle}[/mm]
> ist und damit [mm]||\lambda x+y||^2[/mm] = [mm]\left\langle \lambda x+y,\lambda x+y \right\rangle.[/mm]
>
> Dann gilt:
> [mm]\bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK m it \lambda^4=1} \lambda \left\langle \lambda x+y,\lambda x+y \right\rangle[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK m it \lambda^4=1} \lambda (\left\langle \lambda x,\lambda x \right\rangle[/mm]
> + [mm]\left\langle \lambda x,y \right\rangle[/mm] + [mm]\left\langle y,\lambda x \right\rangle[/mm]
> + [mm]\left\langle y,y \right\rangle)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{4} \summe_{\lambda \in \IK m it \lambda^4=1} (\lambda \bar \lambda \lambda\left\langle x,x \right\rangle[/mm]
> + [mm]\lambda \bar \lambda\left\langle x,y \right\rangle[/mm] +
> [mm]\lambda\lambda \left\langle y,x \right\rangle[/mm] +
> [mm]\lambda\left\langle y,y \right\rangle)[/mm]
> Weiter komme ich
> leider nicht! Ich habe keine Ahnung, wie ich es nun
> hinbekomme, dass die Summe [mm]4\left\langle x,y \right\rangle[/mm]
> ergibt.
> Wäre super wenn mir da nochmal jemand helfen könnte!
Hallo,
wie bereits gesagt solltest Du mal feststellen, über welche [mm] \lambda [/mm] hier zu summieren ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mo 03.05.2010 | | Autor: | niandis |
Hallo!
Nunja es soll über die [mm] \lambda [/mm] mit [mm] \lambda^4 [/mm] = 1 summiert werden. Aber wie bringt mich das weiter? Ich habe ja keine [mm] \lambda^4. [/mm] Ich habe maximal [mm] \lambda^3. [/mm] Und über [mm] \lambda^1 [/mm] kann ich ja so keine Aussage machen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Nunja es soll über die [mm]\lambda[/mm] mit [mm]\lambda^4[/mm] = 1 summiert
> werden. Aber wie bringt mich das weiter? Ich habe ja keine
> [mm]\lambda^4.[/mm] Ich habe maximal [mm]\lambda^3.[/mm] Und über [mm]\lambda^1[/mm]
> kann ich ja so keine Aussage machen!
Überlege Dir, dass für [mm] \lambda \in \IC [/mm] gilt:
[mm] $\lambda^4=1 \gdw \lambda \in \{1,-1, i, -i \}$
[/mm]
FRED
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