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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:58 Do 13.05.2010 | | Autor: | Pidgin |
| Aufgabe | Sein f eine univalente analytische Funktion auf [mm] D(z_0,r+\delta) [/mm] (Umgebung mit Radius [mm] r+\delta [/mm] um [mm] z_0). [/mm] Sei W die offene Menge [mm] f(D(z_0,r)) [/mm] und sei g: W [mm] \rightarrow D(z_0,r) [/mm] die Inverse von f. Typischerweise kennt man f aber nicht g.
a) Zeige, dass:
g(w) = [mm] \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{|z-z_0|=r} \frac{zf'(z)}{f(z)-w} [/mm] dz für w [mm] \in [/mm] W.
Hinweis: Berechne das Residuum des Integranden an der Stelle z = g(w).
b) Welche Beziehung gilt zwischen [mm] g^{(n)}(w) [/mm] und [mm] Res|_{z=g(w)}(f(z)-w)^{-n} [/mm] für w [mm] \in [/mm] W und n = 1, 2? Hinweis: Für Fall n = 1, betrachte d/dz von [mm] z(f(z)-w)^{-1}. [/mm] |
a) Ich habe begonnen das Residuum an der Stelle z = g(w) zu berechnen:
[mm] Res_{z=g(w)} \frac{zf'(z)}{f(z)-w} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{|z - g(w)|=r} \frac{z f'(z)}{f(z)-w}dz [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{(g(w)+r\cdot exp(it)) \cdot f'(g(w)+r\cdot exp(it))}{f(g(w)+r\cdot exp(it)) - w} ri\cdot [/mm] exp(it)dt
Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter. Was mache ich falsch?
b)
[mm] \frac{d}{dz} z(f(z)-w)^{-1} [/mm] = [mm] \frac{f(z)-w-zf'(z)}{(f(z)-w)^2}
[/mm]
Jetzt komme ich aber leider auch nicht mehr weiter. Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 15.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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