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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Di 29.06.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Zusammen!
Es gibt ja zu mehreren Konzepten in der Algebra universelle Eigenschaften.(Direktes externes Produkt, Freie Gruppe etc.)
Bei vielen habe ich Schwierigkeiten die Eindeutigkeit zu zeigen:
Mein grösstes Problem liegt beim externen direkten Produkt von Gruppen:
Wenn ich eine Gruppe [mm] H [/mm] habe und [mm] \{\phi_k\}_{k=1...n} [/mm] Homomorphismen mit [mm] \phi_k : H \to G_k [/mm] wobei [mm] G_k [/mm] eine Gruppe aus dem externen direkten Produkt ist, dann gibt es genau einen Homomorphismums [mm] \tau : H \to D [/mm] wobei D das externe direkte Produkt der [mm] G_k [/mm]'s ist, so dass [mm] \pi_k\circ \tau = \phi_k [/mm] ist. Der Beweis der Eindeutigkeit von [mm] \tau [/mm] ist mir klar.
Meine Frage bezieht sich darauf: Wieso ist das direkte Produkt durch diese universelle Eigenschaft eindeutig bestimmt? Danke für eure Hilfe!
([mm] \pi_k [/mm] ist die Projektion auf die entsprechende Gruppe)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Di 29.06.2010 | | Autor: | andreas |
hi
> Wenn ich eine Gruppe [mm]H[/mm] habe und [mm]\{\phi_k\}_{k=1...n}[/mm]
> Homomorphismen mit [mm]\phi_k : H \to G_k[/mm] wobei [mm]G_k[/mm] eine Gruppe
> aus dem externen direkten Produkt ist, dann gibt es genau
> einen Homomorphismums [mm]\tau : H \to D[/mm] wobei D das externe
> direkte Produkt der [mm]G_k [/mm]'s ist, so dass [mm]\pi_k\circ \tau = \phi_k[/mm]
> ist. Der Beweis der Eindeutigkeit von [mm]\tau[/mm] ist mir klar.
> Meine Frage bezieht sich darauf: Wieso ist das direkte
> Produkt durch diese universelle Eigenschaft eindeutig
> bestimmt? Danke für eure Hilfe!
>
> ([mm] \pi_k[/mm] ist die Projektion auf die entsprechende Gruppe)
das direkte produkt ist nur bis auf einen (eindeutigen) isomorphismus eindeutig, das folgt aus der universellen eigenschaft:
sei $D'$ mit projekionen [mm] $\pi_k'$ [/mm] ein weiteres direktes produkt. nun gibt es einen eindeutig bestimmten homomorphismus [mm] $\tau: [/mm] D' [mm] \to [/mm] D$ mit [mm] $\pi_k \circ \tau [/mm] = [mm] \pi_k'$ [/mm] nach der universtellen eigenschaft von $D$. entsprechend gibt es ein eindeutiges [mm] $\sigma: [/mm] D [mm] \to [/mm] D'$ mit [mm] $\pi_k' \circ \sigma [/mm] = [mm] \pi_k$ [/mm] (nach der universellen eigenschaft von $D'$) - mal dir am besten mal die entsprechenden diagramme hin, wenn dir das unlar ist, die rolle der "testgruppe" $H$ spielt im ersten fall $D'$, im zweiten fall $D$. nun wendet man noch einal die universelle eigenschaft von $D$ mit "testgruppe" $H = D$ und [mm] $\phi_k [/mm] = [mm] \pi_k$ [/mm] an. offenbar wird das entsprechende diagramm durch [mm] $\mathrm{id}_D$ [/mm] kommutativ ergänzt, aber nach obiger konstruktion kann man nachrechnen, das dies auch durch [mm] $\tau \circ \sigma$ [/mm] geschieht. mit der eindeutigkeit folgt dann ... die andere richtung analog.
ich hoffe das war halbwegs verständlich, ohne die diagramme ist das immer recht schwer zu erklären.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Mi 30.06.2010 | | Autor: | physicus |
Super, danke du hast mir sehr geholfen!
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