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Forum "Maßtheorie" - Unklarheit: Nullmenge sg. Mass
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Unklarheit: Nullmenge sg. Mass: Mit Hahnzerlegung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Do 29.11.2012
Autor: pablovschby

Hallo zusammen

Ich verstehe folgendes nicht ganz:

Sei (X,A) ein Messraum und [mm] \mu [/mm] ein signiertes Mass.

Nach Hahn-Zerlegungssatz gibt es Mengen  $A_+ [mm] \in [/mm] A$ pos. bezüglich [mm] \mu [/mm] und $A_- [mm] \in [/mm] A$ neg. bezüglich [mm] \mu [/mm] mit $A_+ [mm] \cup [/mm] A_- = X$ und $A_+ [mm] \cap [/mm] A_- = [mm] \emptyset$ [/mm]

$A_+$ pos. bez. [mm] \mu [/mm] heisst [mm] \mu(A_+ \cap M)\ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] A
$A_-$ neg. bez. [mm] \mu [/mm] heisst [mm] \mu(A_- \cap M)\le [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] A

Bedeutet dann aber nicht $A_+ [mm] \cap [/mm] A_- = [mm] \emptyset$ [/mm] , dass als einzige Nullmenge für ein signiertes Mass nur die leere Menge in Frage kommt?

Wenn ja: Woraus folgt aus der Definition von signierten Massen, dass die leere Menge als EINZIGE Menge Nullmenge sein darf?

Wenn nein: Wo liegt mein Denkfehler?


Grüsse



        
Bezug
Unklarheit: Nullmenge sg. Mass: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Do 29.11.2012
Autor: meili

Hallo,

> Hallo zusammen
>
> Ich verstehe folgendes nicht ganz:
>  
> Sei (X,A) ein Messraum und [mm]\mu[/mm] ein signiertes Mass.
>  
> Nach Hahn-Zerlegungssatz gibt es Mengen  [mm]A_+ \in A[/mm] pos.
> bezüglich [mm]\mu[/mm] und [mm]A_- \in A[/mm] neg. bezüglich [mm]\mu[/mm] mit [mm]A_+ \cup A_- = X[/mm]
> und [mm]A_+ \cap A_- = \emptyset[/mm]
>  
> [mm]A_+[/mm] pos. bez. [mm]\mu[/mm] heisst [mm]\mu(A_+ \cap M)\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] M [mm]\in[/mm]
> A
>  [mm]A_-[/mm] neg. bez. [mm]\mu[/mm] heisst [mm]\mu(A_- \cap M)\le[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] M
> [mm]\in[/mm] A
>  
> Bedeutet dann aber nicht [mm]A_+ \cap A_- = \emptyset[/mm] , dass
> als einzige Nullmenge für ein signiertes Mass nur die
> leere Menge in Frage kommt?

Nein, aber eine Nullmenge könnte, entweder eine Teilmenge von  [mm]A_+ [/mm]
oder eine Teilmenge von [mm] A_- [/mm] sein.

Die Zerlegung ist eindeutig modulo Nullmengen,
gibt es also eine zweite Zerlegung
[mm]A^{'}_{+} , A^{'}_{-} \in A [/mm] mit diesen Eigenschaften,
so haben die symmetrischen Differenzen das Maß Null:
[mm] $\mu(A_+ \triangle A_{+}^{'}) [/mm] = [mm] \mu(A_- \triangle [/mm] A_-{'}) = 0$

>  
> Wenn ja: Woraus folgt aus der Definition von signierten
> Massen, dass die leere Menge als EINZIGE Menge Nullmenge
> sein darf?
>  
> Wenn nein: Wo liegt mein Denkfehler?

Vielleicht weil Du das größergleich und das kleinergleich in
[mm]\mu(A_+ \cap M)\ge[/mm] 0  und [mm]\mu(A_- \cap M)\le[/mm] 0
nicht berücksichtigt hast. Das Maß der Schnitte kann eben auch Null sein.

>  
>
> Grüsse
>  
>  

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
Unklarheit: Nullmenge sg. Mass: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Do 29.11.2012
Autor: pablovschby

Danke.

Also schau, was ich nicht verstehe:

Sagen wir,  [mm] \mu [/mm] ist also ein signiertes Mass und E eine Menge die Nullmenge von [mm] \mu [/mm] ist mit E [mm] \neq \emptyset. [/mm]

Dann ist aber $ E [mm] \in [/mm] A_+$ sowie $ E  [mm] \in [/mm] A_-$ weil [mm] \mu(E)=0 [/mm] und 0  [mm] \ge [/mm] 0 sowie 0 [mm] \le [/mm] 0 gilt (Was auch für die Mengen E [mm] \cap [/mm] M mit M [mm] \in [/mm] A beliebig gilt).

Also ist $ A_+ [mm] \cap [/mm] A_- =E [mm] \neq \emptyset$ [/mm] ??? Widerspruch zur Hahn-Zerlegung die ja ganz klar sagt, dass dieser Schnitt die leere Menge sein muss... ??


Bezug
                        
Bezug
Unklarheit: Nullmenge sg. Mass: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Do 29.11.2012
Autor: meili

Hallo,

> Danke.
>  
> Also schau, was ich nicht verstehe:
>  
> Sagen wir,  [mm]\mu[/mm] ist also ein signiertes Mass und E eine
> Menge die Nullmenge von [mm]\mu[/mm] ist mit E [mm]\neq \emptyset.[/mm]
>  
> Dann ist aber [mm]E \in A_+[/mm] sowie [mm]E \in A_-[/mm] weil [mm]\mu(E)=0[/mm] und

Nein, E ist nur entweder eine Teilmenge von $A_+$ oder eine Teilmenge
von $A_-$, aber nicht von beiden gleichzeitig, denn  $A_+ [mm] \cap [/mm] A_- = [mm] \emptyset$. [/mm]
(Eigentlich kann es noch komplizierter sein: ist F und G eine disjunkte
Zerlegung von E mit F [mm] $\cap$ [/mm] G = [mm] $\emptyset$ [/mm] und F [mm] $\cup$ [/mm] G = E, so
kann eine der Mengen eine Teilmenge von $A_+$ und die andere eine Teilmenge von $A_-$ sein.)

> 0  [mm]\ge[/mm] 0 sowie 0 [mm]\le[/mm] 0 gilt (Was auch für die Mengen E

Aus [mm]\mu (E \cap A_+) = 0[/mm] folgt nicht $E [mm] \subset [/mm] A_+$.
Ebenso wenig folgt $E [mm] \subset [/mm] A_-$ aus [mm]\mu (E \cap A_-) = 0[/mm].

Wenn eine Menge das Maß 0 hat, so ist es zwar eine Nullmenge,
muss aber nicht die leere Menge sein.

> [mm]\cap[/mm] M mit M [mm]\in[/mm] A beliebig gilt).

Zwar ist  [mm] \mu (E \cap M) = 0 [/mm] mit [mm] M \in A [/mm],
denn entweder ist $E [mm] \cap [/mm] M$ die leere Menge oder eine Nullmenge (als
Teilmenge von E), aber nicht alle Schnitte sind leer.


>  
> Also ist [mm]A_+ \cap A_- =E \neq \emptyset[/mm] ??? Widerspruch
> zur Hahn-Zerlegung die ja ganz klar sagt, dass dieser
> Schnitt die leere Menge sein muss... ??
>  

Gruß
meili

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