Unkorreliert, unabh. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 So 29.06.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Gegeben ist die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) mit Dichte:
[mm] f_{X,Y}(x,y)= [/mm]
1/2, wenn -1/2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1/2 und 1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 2
1/4, wenn -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1
0, sonst
Untersuche, ob X und Y unabhängig bzw. unkorreliert sind. |
Hallo,
wenn (X,Y) unkorreliert sein soll, muss die Kovarianz 0 sein. Dazu brauche ich den Erwartungswert. Aber wie rechnet man diesen im zweidimensionalen Fall aus?
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> Gegeben ist die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) mit
> Dichte:
>
> [mm]f_{X,Y}(x,y)=[/mm]
> 1/2, wenn -1/2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1/2 und 1 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 2
> 1/4, wenn -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1 und 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 1
> 0, sonst
>
> Untersuche, ob X und Y unabhängig bzw. unkorreliert sind.
> Hallo,
>
> wenn (X,Y) unkorreliert sein soll, muss die Kovarianz 0
> sein. Dazu brauche ich den Erwartungswert. Aber wie rechnet
> man diesen im zweidimensionalen Fall aus?
Hallo rollroll,
zuerst sollte man prüfen, ob die angegebene Dichtefunktion
wirklich die für eine Dichte notwendige Bedingung erfüllt,
nämlich:
[mm] $\iint_{\IR^2}\ f_{X,Y}(x,y)\ dx\,dy\ [/mm] =\ 1$
um z.B. den Erwartungswert von Y zu berechnen, muss
man dann y * Dichte über das gesamte Integrationsgebiet
integrieren:
$\ E(Y)\ =\ [mm] \iint_{\IR^2}\ y\,*\,f_{X,Y}(x,y)\ dx\,dy$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 29.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Dass es sich tatsächlich um eine dichtefunktion handelt, habe ich bereits gezeigt.
Muss ich dann also das integral von 0 bis 1 und das von 1 bis 2 nehmen?
und wie gehe ich für E (XY) vor?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mo 30.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Gibt's vorschlaege?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mo 30.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin rollroll,
es waere sehr freundlich von dir, wenn du deine Frage auf den Punkt formulieren wuerdest. In der Aufgabenstellung geht es um Unkorreliertheit und Unabhaengigkeit, bei deinen spaeteren Fragen geht es aber anscheinend letztendlich nur um die Berechnung von [mm] $\operatorname{E}[XY]$. [/mm] Also bitte: etwas genauer!
Benutze die alte Bauernregel
[mm] $\operatorname{E}[XY]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xy f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 30.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Dann versuche ich mich nochmal etwas klarer auszudrücken:
Um auf Korreliertheit zu überprüfen, brauche ich ja in jedem Fall E(X), E(Y) und E(XY). Ich weiß aber nicht wie genau ich das auf den zweidimensionalen Fall anwenden soll. Die Formel die du angegeben hast, kenne ich. Mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß, wie die Integrationsgrenzen lauten, weil ich ja quasi vier Intervalle habe.
Und wenn ich E(X) bestimmen will muss ich dann [mm] \operatorname{E}[X]=\int_{-0,5}^{0,5}\int_{-1}^{1}x f_{X,Y}(x,y)\,dx [/mm] berechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 30.06.2014 | | Autor: | luis52 |
>Mein Problem
> liegt darin, dass ich nicht weiß, wie die
> Integrationsgrenzen lauten, weil ich ja quasi vier
> Intervalle habe.
Mache dir eine Skizze des Definitionsbereichs der Dichte. Dann erkennst du, wie zu integrieren ist.
> Und wenn ich E(X) bestimmen will muss ich dann
> [mm]\operatorname{E}[X]=\int_{-0,5}^{0,5}\int_{-1}^{1}x f_{X,Y}(x,y)\,dx[/mm]
> berechnen?
Nein,
[mm]\operatorname{E}[X]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}x f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy[/mm]
Auch hier hilft die Skizze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Mo 30.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ehrlich gesagt verstehe ich das nicht ganz, wenn ich den Defbereich skizziere erhalte ich doch quasi zwei Rechtecke, oder? Aber ich erkenne nicht wie ich dann integrieren soll. Gibt es dazu nicht ein Rezept, wie man das erkennen kann? Ich verstehe auch nicht, weshalb die Grenzen -0,5 bis 0,5 und -1 bis 1 falsch sind, wenn ich E(X) berechnen will, dass sind doch gerade die Intervallgrenzen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mo 30.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Gibt es dazu nicht ein Rezept, wie man das erkennen kann?
In der Tat: Genau hinsehen.
[mm]\operatorname{E}[XY]=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{xy}{4} \,dx\,dy+ \int_{1}^{2}\int_{-1/2}^{1/2}\frac{xy}{2}\,dx\,dy[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 30.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke. Und wie sieht es mit den Grenzen von E(x) aus, weshalb stimmt das nicht, was ich dazu geschrieben hatte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Mo 30.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Das überlege dir jetzt mal bitte selber.
.> Danke. Und wie sieht es mit den Grenzen von E(x) aus,
> weshalb stimmt das nicht, was ich dazu geschrieben hatte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mo 30.06.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm] \operatorname{E}[X]=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{x}{4} \,dx\,dy+ \int_{1}^{2}\int_{-1/2}^{1/2}\frac{x}{2}\,dx\,dy [/mm]
so??
Und für E(XY) erhalte ich 3/4 stimmt das?. Weil man beim ersten Integrieren ja jeweils 0 erhält
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Di 01.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]\operatorname{E}[X]=\int_{0}^{1}\int_{-1}^{1}\frac{x}{4} \,dx\,dy+ \int_{1}^{2}\int_{-1/2}^{1/2}\frac{x}{2}\,dx\,dy[/mm]
>
> so??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und für E(XY) erhalte ich 3/4 stimmt das?. Weil man beim
> ersten Integrieren ja jeweils 0 erhält
Da erhalte ich 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Di 01.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Das kommt mir alles sehr komisch vor, für E(X) erhalte ich auch 0. Damit wäre die Kovarianz ja auch auf jeden Fall 0. Kann das sein?? Ich habe eine Aufgabe zu zweidimensionalen ZV in einem Skript gefunden. Da wird zunächst die Randdichte bestimmt. Das hatten wir aber noch gar nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Di 01.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> Das kommt mir alles sehr komisch vor, für E(X) erhalte ich
> auch 0. Damit wäre die Kovarianz ja auch auf jeden Fall 0.
> Kann das sein??
Ja.
> Ich habe eine Aufgabe zu zweidimensionalen
> ZV in einem Skript gefunden. Da wird zunächst die
> Randdichte bestimmt. Das hatten wir aber noch gar nicht...
Kann man auch, aber deine Vorgehensweise ist auch moeglich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 01.07.2014 | | Autor: | rollroll |
Gut, dann wären die ZV ja schon mal unkorreliert. Habe es mal mit der anderen Methode probiert, dort erhalte ich das selbe Ergebnis. Wie wende ich die Formel für die Unabhängigkeit auf diesen fall an? Als Hinweis ist angegeben, man soll {X > 1/2} und {Y >1} betrachten. Ich schätze mal der Schnitt dieser beiden Mengen ist leer, weiß aber nicht wie ich es begründen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 01.07.2014 | | Autor: | luis52 |
Schau mir in die Skizze, Kleines. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Di 01.07.2014 | | Autor: | rollroll |
In der Skizze sehe ich es, dass {X>1/2} [mm] \cap [/mm] {Y>1} = [mm] \emptyset [/mm]
Aber das ist ja keine ausreichende Begründung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Di 01.07.2014 | | Autor: | luis52 |
Na dann integriere doch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Di 01.07.2014 | | Autor: | rollroll |
So:
[mm] \int_{1}^{\infty}\int_{0,5}^{\infty}\frac{x}{4} \,dx\,dy+ \int_{1}^{\infty}\int_{1/2}^{\infty}\frac{x}{2}\,dx\,dy [/mm] = P({X>0,5} [mm] \cap [/mm] {Y>1})
Ich weiß gar nicht wie ich das mit Integralen ausdrücken soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Di 01.07.2014 | | Autor: | luis52 |
> So:
>
> [mm]\int_{1}^{\infty}\int_{0,5}^{\infty}\frac{x}{4} \,dx\,dy+ \int_{1}^{\infty}\int_{1/2}^{\infty}\frac{x}{2}\,dx\,dy[/mm]
> = P({X>0,5} [mm]\cap[/mm] {Y>1})
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Ich weiß gar nicht wie ich das mit Integralen ausdrücken
> soll...
[mm] $P(X>1/2,Y>1)=\int_{1}^{+\infty}\int_{1/2}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy \int_{1}^{+\infty}\int_{1/2}^{+\infty}0\,dx\,dy=0$
[/mm]
[mm] $P(X>1/2)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{1/2}^{+\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy [/mm] =1/8$ ...
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