Unmkehrfnkt. v. Durchschnitt? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 So 01.11.2009 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo,
ich habe erstmal nur eine Verständnisfrage.
Wenn ich das richtig erkenne, ist damit doch die Umkehrfunktion von einer Schnittmenge gemeint. Aber was kann ich darunter verstehen? Was ist denn die Umkehrung von einer Schnittmenge?!
[mm] f^{-1}(\bigcap_{M \in M}M)=\bigcap_{M \in M}f^{-1}(M)
[/mm]
Würde mich sehr über Hilfe freuen.
Lg
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Hi Vicky,
$\ [mm] f^{-1}(A) [/mm] $ ist nicht die Umkehrfunktion einer Menge $\ A $, sondern das sog. Urbild von $\ f $ unter einer Menge $\ A $ bzw die Urbildmenge von $\ A $.
$ [mm] \bigcap_{M \in M}M [/mm] $ ist ja nichts anderes als eine Menge.
Wenn dir also eine Funktion $\ f: A [mm] \to [/mm] B $ gegeben ist, dann ist $\ [mm] f^{-1}(B) [/mm] $ nichts anderes als $\ A $.
Üblicherweise gibt es eine Funktion $\ f : M [mm] \to [/mm] N $ und $\ A, B $ sind Teilmengen von $\ N $.
Dann ist $\ [mm] f^{-1}(A \cap [/mm] B) := [mm] \{ x \in M : f(x) \in A \cap B \} [/mm] $ folglich die Urbildmenge von $\ A [mm] \cap [/mm] B $
Hilft dir das?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 01.11.2009 | | Autor: | Vicky89 |
Ist das Urbild nicht irgendwie auch die Umkehrfunktion?
dachte, das wäre prinzipiell das gleiche...
ich kann mir einfach nicht so wirklich was darunter vorstellen, wenn ich mir das z.b. an mengen von zahlen vorstelle, ist mir einfach unklar, was davon das urbild sein soll...
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Hi Vicky,
> Ist das Urbild nicht irgendwie auch die Umkehrfunktion?
> dachte, das wäre prinzipiell das gleiche...
Nehmen wir an, uns sei eine Funktion $\ f: X [mm] \to [/mm] Y $ gegeben.
Die Umkehrfunktion $\ [mm] f^{-1}:Y \to [/mm] X $ existiert nur dann, wenn $\ f $ bijektiv ist.
Wenn man sich das irgendwie anschaulich vorstellt, wird auch relativ schnell klar, warum.
Nach Definition ist eine Funktion/Abbildung eine Zuordnungsvorschrift, die jedem $\ x [mm] \in [/mm] X $ genau ein $\ y [mm] \in [/mm] Y $ zuordnet.
Gibt es in der Menge $\ X $ auch nur ein einziges Element, dass nicht in die Zielmenge abgebildet wird, handelt es sich nicht mehr um eine Funktion.
Nun kann so eine Zuordnungsvorschrift auf verschiedene Weisen geschehen. So kann die Abbildung injektiv, surjektiv , keines von beiden oder sogar beides gleichzeitig - also bijektiv - sein.
Bist du mit diesen Begriffen vertraut?
Ist eine Funktion bijektiv, so hat jedes Bild $\ y [mm] \in [/mm] Y $ genau ein, und nur ein Urbild $\ x [mm] \in [/mm] X $, das heisst
für alle $\ y [mm] \in [/mm] Y $ gilt: $\ f(x):= y $
Das muss nicht immer so sein. In vielen Fällen gilt $\ f(X) [mm] \subset [/mm] Y $, d.h. die (Mächtigkeit der) Bildmenge ist kleiner als die (Mächtigkeit der ) Zielmenge.
So, angenommen die Funktion $\ f $ ist nicht bijektiv und wir wollten die Umkehrfunktion $\ [mm] f^{-1} [/mm] $ konstruieren, wir gehen also hin und definieren
$\ [mm] f^{-1} [/mm] : Y [mm] \to [/mm] X $
Doch dann stellen wir fest, dass es in unserem Definitionsbereich $\ Y $ plötzlich Elemente gibt, die garnicht auf ein $\ x [mm] \in [/mm] X $ abgebildet werden.
(Einen Weg, den du nie gelaufen bist, kannst du nicht "zuruecklaufen")
$\ [mm] f^{-1}$ [/mm] ist dann aber nach Definition keine Funktion/Abbildung also kann sie nicht existieren, wenn $\ f $ nicht bijektiv ist.
So viel zur Umkehrfunktion.
Nun haben wir oben schon von Urbildern und Bildern gesprochen.
Bei unserer Funktion $\ f: X [mm] \to [/mm] Y $ sind die Urbilder alle $\ x [mm] \in [/mm] X $ und die Bilder sind alle $\ f(x) in Y $.
Nehmen wir beispielsweise z.B.
$\ g: [mm] \begin{cases} \IN \to \IN \\ x \mapsto 2x \end{cases} [/mm] $
mit $\ [mm] \IN [/mm] = [mm] \{1,2,3...\} [/mm] $
(Achte auf die Definitions- und Wertemenge)
Wir beginnen also mit $\ x = 1 $, dann ist $\ g(x) = 2 $
$\ x= 2 [mm] \gdw [/mm] g(x) = 4 $
$\ x= 3 [mm] \gdw [/mm] g(x) = 6 $
usw.
Unsere Bildmenge ist also $\ g(X) = [mm] \{2,4,6,....\} [/mm] $
Aber die ganzen ungeraden Zahlen in der Zielmenge $\ [mm] \IN [/mm] $ haben kein Urbild.
Verstehst du nun, was so eine Bildmenge ist?
Kehren wir um zu $\ f: X [mm] \to [/mm] Y $ und haben zwei Teilmengen von $\ Y $, nämlich $\ A, B $
Wenn die Funktion $\ f $ nach $\ Y $ abbildet, dann bildet sie ja insbesondere nach $\ A, B $ ebenfalls ab.
Da $\ Y $ mehr Elemente besitzt, als $\ A $ oder $\ B$ , haben $\ A , B $ auch weniger Urbilder.
Die Urbildmenge von $\ A $ ist $\ [mm] f^{-1}(A) [/mm] $
Die Urbildmenge von $\ B $ ist $\ [mm] f^{-1}(B) [/mm] $
Präzise:
$\ [mm] f^{-1}(A) [/mm] := [mm] \{ x \in X: f(x) \in A \} [/mm] $
$\ [mm] f^{-1}(B) [/mm] := [mm] \{x \in X: f(x) \in B \} [/mm] $
Da $\ A [mm] \cap [/mm] B $ auch nur eine neue Menge ist, kannst du dir ja die Urbildmenge davon selbst zusammenreimen 
>
> ich kann mir einfach nicht so wirklich was darunter
> vorstellen, wenn ich mir das z.b. an mengen von zahlen
> vorstelle, ist mir einfach unklar, was davon das urbild
> sein soll...
Ich hoffe, dass Du dir ein bisschen Zeit nimmst und dir das Ganze ein wenig zu gemüte führst. Man muss es nur einmal verstehen, danach weiß man es und der rest erklärt sich relativ schnell von selbst.
Frag ruhig, wenn etwas unklar ist und verzeih mir, dass das alles so viel auf einmal ist.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Vicky89 |
danke, es ist mir jetzt doch ein bisschen klarer geworden :)
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