Unstetigkeitsstelle < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 So 10.01.2010 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die Funktion
[mm]
f(x)=\begin{cases} x^2\cdot \sin(\frac{1}{x}), & x < 0\mbox \\ 0, & x \ge 0 \end{cases}
[/mm]
ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] differenzierbar und $f'$ ist in $x=0$ unstetig. |
Hallo,
also die Differenzierbartkeit habe ich gezeigt und es gilt:
[mm]
f(x)=\begin{cases} x^2\cdot sin(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x}), & \mbox{für } x <0 \\ 0, & \mbox{für }x \ge 0 \end{cases}
[/mm]
Nun möchte ich zeigen, dass die Ableitung in $x=0$ unstetig ist. Wäre $f'$ an dieser Stelle stetig, so müssten ja links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
Also:
[mm]
\limes_{x \nearrow 0} f'(x) = \limes_{x \nearrow 0} 0 = 0 = f'(0)
\limes_{x \searrow 0} f'(x) = \limes_{x \searrow 0} x^2\cdot sin(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x}) = \dots
[/mm]
Bei dem rechtsseitigen Grenzwert weiß ich nun nicht weiter. für $x [mm] \longrightarrow [/mm] 0$ ist [mm] $\frac{1}{x} \longrightarrow \infty$. [/mm] Der Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0} sin(\frac{1}{x})$ [/mm] existiert nicht (entsprechend für Kosinus). Kann ich das einfach als Begründung für die Unstetigkeit von $f'$ an der Stelle $x=0$ nennen? Wie muss ich hier weiter vorgehen?
Viele Grüße und schonmal ein herzliches Dankeschön für eure Antworten
jboss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 10.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo jboss!
> [mm]
f(x)=\begin{cases} x^2\cdot sin(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x}), & \mbox{für } x <0 \\ 0, & \mbox{für }x \ge 0 \end{cases}
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der 1. Faktor muss $2*x_$ anstelle von [mm] $x^2$ [/mm] lauten.
Anschließend kann man hier wie folgt umformen:
[mm] $$2x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-\cos\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x}*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}$$
[/mm]
Nun substituiere $z \ := \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] und untersuche den Grenzwert für [mm] $z\rightarrow\infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 So 10.01.2010 | | Autor: | nooschi |
wenn die Funktion stetig in x=0 wäre, müsste jede Teilfolge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] für die [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n})=0 [/mm] gilt, zu dem selben Grenzwert konvergieren.
den rechtsseitigen Grenzwert hast du gefunden, d.h. es existiert eine Teilfolge wie oben gesucht, die nach 0 konvergiert.
gesucht ist jetzt noch die zweite Teilfolge (welche dann aber natürlich zu einem anderen Wert konvergieren soll), welche du wunderbar mit deinen bisherigen Ergebnissen konstruieren kannst:
du hast ja das folgende Ergebnis bereits bekommen und weisst, dass der erste Teil schon mal gegen 0 geht: [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}(\underbrace{\bruch{2*sin(z)}{z}}_{\rightarrow 0}-cos(z)).
[/mm]
mun musst du eine Folge [mm] z_{n} [/mm] finden, sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(z_{n})=\infty [/mm] und dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(cos(z_{n})=1 [/mm] (zum Beispiel... könntest auch -1 oder so nehmen)
zu empfehlen für [mm] z_{n} [/mm] wäre da zum Beispiel [mm] z_{n}=2n\pi [/mm] (denn der Cosinus ist so für jedes beliebige n gleich 1 und die Folge konvergiert offensichtlich gegen unendlich)
so bekommst du schlussendlich als Grenzwert der Teilfolge -1 und somit hast du die Unstetigkeit gezeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 10.01.2010 | | Autor: | jboss |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Jetzt ist einiges klarer geworden 
Gruß
Jakob
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 So 10.01.2010 | | Autor: | nooschi |
bitteschöön ;)
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