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Hallo liebe Forum-Freunde
Bin bei dieser Aufgabe nicht weiter gekommen,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe:
Berechnen Sie Untersumme und Obersumme für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n [mm] \to \infty [/mm] ?
d) f(x)= [mm] 2x^2+x [/mm] , I=[0;1]
Benötigte Summenformel: [mm] 1^2+2^2+...+n^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Stehe völlig ratlos vor der Aufgabe.
Ich bedanke mich schon im Voraus
Viel Gruß
Hasan
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> Hallo liebe Forum-Freunde
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> Bin bei dieser Aufgabe nicht weiter gekommen,deshalb bitte
> ich euch um eure Hilfe:
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> Berechnen Sie Untersumme und Obersumme für die Funktion f
> über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils
> für n [mm]\to \infty[/mm] ?
>
> d) f(x)= [mm]2x^2+x[/mm] , I=[0;1]
>
> Benötigte Summenformel:
> [mm]1^2+2^2+...+n^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
>
> Stehe völlig ratlos vor der Aufgabe.
>
> Ich bedanke mich schon im Voraus
>
> Viel Gruß
> Hasan
Du schon wieder ;) Also diesmal die kurze Variante, so weit ich es sehe ^^
$ [mm] f(x)=2x^2+x [/mm] $
Also wollen wir mal wieder die Obersumme berechnen (für die Untersumme kannst du dann nochmal alleine den Ansatz probieren, hatte dir ja geschrieben, dass man da eben nur bis n-1 geht)
Intervall ist I=[0;1], also gilt wieder [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
$ [mm] O=\bruch{1}{n}*f(\bruch{1}{n})+\bruch{1}{n}*f(2*\bruch{1}{n})+\bruch{1}{n}*f(3*\bruch{1}{n})+...+\bruch{1}{n}*f(n*\bruch{1}{n}) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n}*(f(\bruch{1}{n})+f(2*\bruch{1}{n})+f(3*\bruch{1}{n})+...+f(n*\bruch{1}{n}) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n}*(2*(\bruch{1}{n})^2+\bruch{1}{n}+2*(2*\bruch{1}{n})^2+2*\bruch{1}{n}+2*(3*\bruch{1}{n})^2+3*\bruch{1}{n}+...+2*(n*\bruch{1}{n})^2+n*\bruch{1}{n}) [/mm] $
Wir sehen schon mal, [mm] \bruch{1}{n} [/mm] kommt immer wieder in der Klammer vor
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}*(2*(\bruch{1}{n})+1+2*(2^2*\bruch{1}{n})+2+2*(3^2*\bruch{1}{n})+3+...+2*(n^2*\bruch{1}{n})+n) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}*(\bruch{2}{n}*(1^2+2^2+3^3+..+n^2)+1+2+3+...+n) [/mm] $
Das wäre meine maximale Verkürzung, nur müsstest du in der Klammer jetzt zwei Reihen ersetzen, einmal eine quadratische und einmal eine mit einfachen natürlichen Zahlen, also zwei versch. Summenformeln verwenden
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wie kombiniert man denn 2 summenformel??
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Einfach mit + :) Du hast ja so gesehen zwei völlig unabhängige Reihen, betrachte es also so:
[mm] (1+2+3+4+...+n+1^2+2^2+3^2+...+n^2)
[/mm]
Angenommen, es gäbe eine Formel für jede Reihe, dann könnte man schreiben:
[mm] 1+2+3+4+...+n=\summe_{i=1}^{n}i
[/mm]
[mm] 1^2+2^2+3^3+...+n^2=\summe_{i=1}^{n}i^2
[/mm]
also
[mm] (\summe_{i=1}^{n}i+\summe_{i=1}^{n}i^2)
[/mm]
Hier will ich gleich noch hinschreiben, warum das oben doch stimmt :)
Also wir kamen bis
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}\cdot{}(\bruch{2}{n}\cdot{}(1^2+2^2+3^3+..+n^2)+1+2+3+...+n) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}*(\bruch{n*(n+1)}{2}+\bruch{2}{n}*\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}*(\bruch{3*n^2*(n+1)}{6n}+\bruch{2*n*(n+1)*(2n+1)}{6n})=\bruch{1}{n^2}(\bruch{3*n^2*(n+1)+2*n*(n+1)*(2n+1)}{6n})=\bruch{1}{n^2}(\bruch{3*n^2*(n+1)+2*n*(n+1)*(2n+1)}{6n}) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}(\bruch{3*n^3+3n^2+2*n*(2n^2+2n+n+1)}{6n}) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}(\bruch{3n^3+3n^2+4n^3+4n^2+2n^2+2n}{6n}) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{1}{n^2}(\bruch{7n^3+9n^2+2n}{6n}) [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{7n^3+9n^2+2n}{6n^3} [/mm] $
$ [mm] O=\bruch{7}{6}+\bruch{9}{6n}+\bruch{2}{6n^2} [/mm] $
Jetzt kommt der Limes:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{7}{6}+\bruch{9}{6n}+\bruch{2}{6n^2}=\bruch{7}{6} [/mm] $
DANKE
$ [mm] \integral_{}^{}{2x^2+x dx}=[\bruch{2x^3}{3}+\bruch{x^2}{2}]^1_0=\bruch{2}{3}+\bruch{1}{2}=\bruch{7}{6} [/mm] $
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Wissen wir wo der Fehler ist?
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Ich weiß es geh bitte noch einmal meinen ersten Post durch, ich habe jetzt alle Fehler gefunden, habe fälschlicherweiße einmal zuviel [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ganz ausgeklammert, obwohl ich dasn icht darf! Damit verändert sich natürlich alles. Lass mir bitte etwas Zeit für meine zweite Antwort, die korrigiere ich eben auch, die erste ist jetzt 100% richtig
Jetzt aber wirklich! Sorry, war noch ein Fehler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
ich weiß gar nicht wo ich die Korrekturen lesen kann, bin nicht so lange mitglied hier
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Adamantin |
Die habe ich direkt reingeschrieben, dafor steht das (vx) hinter der Antwort, da sieht man, wie oft ein Beitrag editiert wurde. Also einfach nochmal lesen, habe ihn direkt bearbeitet! Waren ne Menge dummer Fehler drin sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
ich danke dir dass du mir deine hilfe anbietest
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 10.11.2008 | | Autor: | moody |
Bitte nur Fragen als Frageartikel stellen. Für sowas bitte das Format Mitteilung nutzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
ich weiß gar nicht wo ich die Korrekturen lesen kann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mo 10.11.2008 | | Autor: | moody |
Es steht hinter der Antwort z.b. V4 das heißt der Artikel wurde 4 Mal bearbeitet, wie schon gesagt, einfach nochmal lesen.
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Wenn ich jetzt die Untersumme bilde,und dann den Grenzwert,müsste dann da auch [mm] \bruch{7}{6} [/mm] rauskommen???
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Selbstverständlich, sonst wäre es eine schlechte Untersumme :) Mit dem Grenzwert muss genau der selbe Wert errechnet werden, denn die Untersumme nähert sich ja nur von unten dem richtigen Inhalt, während die Obersumme von oben kommt, wo die Obersumme also immer ein bisschen zu groß ist, als die wirkliche Fläche, ist die Untersumme zu klein. Durch den Grenzwert nähern sich aber beide exakt in der Mitte beim realen Wert, du rechnest also quasi Obersumme-Untersumme=min. Wenn dann 0 rauskommt, sind beide exakt gleichgroß und damit gibt der Wert die reale Fläche an.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:33 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Untersumme:
Ansatz:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}*[2*(\bruch{1}{n})+1+2*(2^2*\bruch{1}{n})+2+2*(3^2*\bruch{1}{n})+3+...+2*(n^2*\bruch{1}{n})]
[/mm]
oder??
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Hallo liebe forum freunde
ich brauche eure Hilfe
[mm] f(x)=2x^2+x [/mm] , Intervall=[0;1]
Bilde die Untersumme.
Ansatz:Untersumme:
Ansatz:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}*[2*(\bruch{1}{n})+1+2*(2^2*\bruch{1}{n})+2+2*(3^2*\bruch{1}{n})+3+...+2*(n^2*\bruch{1}{n})] [/mm]
oder??
Viel Gruß
Hasan
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Nicht ganz richtig, denn bei der Untersumme geht man immer nur bis n-1! Das ist ja das besondere an der Untersumme, wenn du es dir mal mit Rechtecken einmalst, denn das letzte Rechteck ist kleiner als das letzte der Obersumme, sprich, der letzte Funtkionswert ist f(n-1) und das musst du auch in der Summenformel berücksichtigen. Das ist also etwas komplizierter als die O, aber gute Übung.
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Untersumme:
Ansatz:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}*[2*(\bruch{1}{n})+1+2*(2^2*\bruch{1}{n})+2+2*(3^2*\bruch{1}{n})+3+...+2*(n^2*\bruch{1}{n})n-1] [/mm]
jetzt vlt???
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:27 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Hallo liebe forum freunde
ich brauche eure hilfe
[mm] f(x)=2x^2+x [/mm] , Intervall=[0;1]
Bilde die Untersumme:
Untersumme:
Ansatz:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}*[2*(\bruch{1}{n})+1+2*(2^2*\bruch{1}{n})+2+2*(3^2*\bruch{1}{n})+3+...+2*(n^2*\bruch{1}{n})n-1] [/mm]
jetzt vlt???
Ich bedanke mich schon im Voraus um eure hilfe
Viel gruß
hasan
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> Untersumme:
>
> Ansatz:
>
> [mm]U=\bruch{1}{n^2}*[2*(\bruch{1}{n})+1+2*(2^2*\bruch{1}{n})+2+2*(3^2*\bruch{1}{n})+3+...+2*(n^2*\bruch{1}{n})n-1][/mm]
>
> jetzt vlt???
>
[mm]U=\bruch{1}{n^2}*[2*(\bruch{1}{n})+1+2*(2^2*\bruch{1}{n})+2+2*(3^2*\bruch{1}{n})+3+...+2*((n-1)^2*\bruch{1}{n})+n-1][/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:30 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Hallo Adamantin
wäre der nächste Schritt:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}*(\bruch{2}{n}(0^2+1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2
[/mm]
Stimmts?
Viel Gruß Hasan
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hallo liebe forum-freunde
ich brauche eure Hilfe
[mm] f(x)=2x^2+x [/mm] , Intervall=[0;1]
Bestimmung der Untersumme:
Ansatz:wäre der nächste Schritt:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}*(\bruch{2}{n}(0^2+1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)+1+2+3+...+(n-1) [/mm]
Stimmts?
Viel Gruß Hasan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasan!
Warum stellst Du Deine Fragen hier stets doppelt und dreifach? Das widerspricht unseren Forenregeln und lässt doch eine gewisse Ungeduld Deinerseits vermuten.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
der Grund dafür ist ,dass ich meinen Ansatz weiter geführt habe,deshalb doppelt,obwohl man nicht doppelt sagen kann,weil es nicht das gleiche ist
Hasan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hasan!
Dafür kann man seinen eigenen Artiekl jeweils editieren und noch verändern.
So wurde dieser Thread hier unnötig aufgebläht und unübersichtlich.
Und die Unterschiede / "Weiterentwicklungen" sind teilweise nicht auszumachen ... aber sei's drum.
Gruß
Loddar
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> hallo liebe forum-freunde
>
> ich brauche eure Hilfe
>
> [mm]f(x)=2x^2+x[/mm] , Intervall=[0;1]
>
> Bestimmung der Untersumme:
>
> Ansatz:wäre der nächste Schritt:
>
> [mm]U=\bruch{1}{n^2}*(\bruch{2}{n}(0^2+1^2+2^2+3^2+...+(n-1)^2)+1+2+3+...+(n-1)[/mm]
>
>
> Stimmts?
>
> Viel Gruß Hasan
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Der Ansatz stimmt jetzt, und wenn du einen neuen Ansatz hast, editier einfach deinen ersten Beitrag, kannst du immer und jeder Zeit
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Meine letzte Frage wäre,wie ich die Summenformel bilden kann bei der Untersumme
Mein ansatz wäre nur:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}(?)
[/mm]
ich meine da kann ja nicht das gleiche wie bei Obrsumme stehen ,deswegen bin ich ratlos.
Vielen dank im Voraus
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> Meine letzte Frage wäre,wie ich die Summenformel bilden
> kann bei der Untersumme
>
> Mein ansatz wäre nur:
>
> [mm]U=\bruch{1}{n^2}(?)[/mm]
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> ich meine da kann ja nicht das gleiche wie bei Obrsumme
> stehen ,deswegen bin ich ratlos.
>
> Vielen dank im Voraus
Wohl wahr, sagte ich dir aber alles schon :) Die Reihe 1+2+3+4+(n-1) musst du mit der Formel, die du hast, ausdrücken. Allerdings geht die Reihe nicht, wie bei O, bis n, sondern bis (n-1)! Das heißt, du musst für beide Formlen immer n durch n-1 ersetzen! Ansonsten bleiben die Formeln gleich
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aha also müsste es dann so lauten:
[mm] U=\bruch{1}{n^2}(\bruch{n-1(n+1}{2}+\bruch{2}{n}*\bruch{n-1(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
so etwa?
Hasan
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> aha also müsste es dann so lauten:
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> [mm]U=\bruch{1}{n^2}(\bruch{n-1(n+1}{2}+\bruch{2}{n}*\bruch{n-1(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
>
> so etwa?
>
> Hasan
so eeetwa ^^
[mm]U=\bruch{1}{n^2}(\bruch{(n-1)(n-1+1)}{2}+\bruch{2}{n}*\bruch{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6})[/mm]
Wie gesagt, natürlich überall n-1 für n einsetzten, wieso sollte man es nur einmal einsetzten, und ansonsten n lassen? Wenn die Formel (n+1) lautet, und wir statt n aber nur bis n-1 gehen, muss da eben (n-1+1) stehen :)
Und JETZT gehe ICH ins Bett....Rest kann jemand anderes machen oder morgen, schlaf gut...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Mo 10.11.2008 | | Autor: | plutino99 |
Hallo adamantin
ich danke dir wirklich persönlich für deine hilfe und mühe,endlich habe ich das prinzip der Integralrechnung verstanden.
Mit freundlichem Gruß
Hasan
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