Unterbestimmtes LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das LGS auf Lösbarkeit.Bestimmen Sie die Lösungsmenge.
a) 3x+2y+z=5
-6x-4y-2z=8 |
Hallo zusammen^^
Ich habe eine Frage zu diesem LGS.Dieses LGS ist unterbestimmt,da mehr Variablen als Gleichungen vorhanden sind.Und bei unterbestimmten LGS ist es ja so,dass es unendlich viele Lösungen gibt.Wenn ich hier aber die erste Gleichung mit 2 multipliziere und dann die zweite dazu addiere komme ich auf einen Widerspruch 0=18.Das heißt,das LGS ist nicht lösbar.
Ist es jetzt so,dass es bei unterbestimmten LGS immer unendlich viele Lösungen gibt,so stand es nämlich in unserem Buch.Aber bei diesem Beispiel ist das nicht so.Hab ich da falsch gerechnet oder wie ist das jetzt?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie das LGS auf Lösbarkeit.Bestimmen Sie die
> Lösungsmenge.
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> a) 3x+2y+z=5
> -6x-4y-2z=8
> Hallo zusammen^^
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> Ich habe eine Frage zu diesem LGS.Dieses LGS ist
> unterbestimmt,da mehr Variablen als Gleichungen vorhanden
> sind.Und bei unterbestimmten LGS ist es ja so,dass es
> unendlich viele Lösungen gibt.Wenn ich hier aber die erste
> Gleichung mit 2 multipliziere und dann die zweite dazu
> addiere komme ich auf einen Widerspruch 0=18.Das heißt,das
> LGS ist nicht lösbar.
> Ist es jetzt so,dass es bei unterbestimmten LGS immer
> unendlich viele Lösungen gibt,so stand es nämlich in
> unserem Buch.Aber bei diesem Beispiel ist das nicht so.Hab
> ich da falsch gerechnet oder wie ist das jetzt?
steht das wirklich so in Eurem Schulbuch? Oder steht diese Aussage nicht vielleicht bzgl. homogenen unterbestimmten (linearen) Gleichungssystemen dort?
Denn ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, also eine inhomogene Gleichung der Form
[mm] $$A*x=b\;\; \text{ mit }A \in \IR^{m \times n}, [/mm] b [mm] \in \IR^m \text{ fest}$$
[/mm]
ist in der Variablen $x [mm] \in \IR^n=\IR^{n \times 1}$ [/mm] genau dann lösbar, wenn [mm] $rg(A)=rg(A|b)\,.$
[/mm]
Und die obige inhomogene Gleichung ist genau dann eindeutig lösbar, wenn $rg(A)=rg(A|b)=n$ gilt.
(Vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Wiki, lineare Gleichungssysteme.)
Also auch, wenn Du mit Matrizenrechnung und linearer Algebra vielleicht noch nicht ganz so vertraut bist, so siehst Du schon hier, dass inhomogene lineare Gleichungssysteme nicht notwendig lösbar sein müssen; während homogene lineare Gleichungssysteme ($A*x=0$ mit [mm] $0=\vektor{0\\0\\.\\.\\.\\0} \in \IR^m$) [/mm] immer lösbar sind (und wenn ein unterbestimmtes homogenes Gleichungssystem vorliegt, dann ist die Lösungsmenge ein mindestens eindimensionaler Unterraum des [mm] $\IR^n$).
[/mm]
Oben hast Du allerdings kein homogenes Gleichungssystem, sondern ein inhomogenes:
[mm] $$E_1: (i)\;\;3x+2y+z=\blue{5}$$
[/mm]
[mm] $$E_2: (ii)\;\;-6x-4y-2z=\blue{8}\,.$$
[/mm]
(Bei dem zugehörigen homogenen System würden sowohl die [mm] $\blue{5}$ [/mm] als auch die [mm] $\blue{8}$ [/mm] durch [mm] $0\,$ [/mm] zu ersetzen sein.)
Wenn Du oben [mm] $-2*(i)\,$ [/mm] rechnest, so ist [mm] $(i)\,$ [/mm] äquivalent zu
[mm] $$-6x-4y-2z=-10\,,$$
[/mm]
und zusammen mit [mm] $(ii)\,$ [/mm] erhielte man
[mm] $$-10\;\underset{-2*(i)}{=}\;-6x-4y-2z\;\underset{(ii)}{=}\;8\,,$$
[/mm]
also [mm] $-10=8\,.$ [/mm] So könnte man auch sehen, dass dieses inhomogene (unterbestimmte) lineare Gleichungssystem keine Lösung hat.
(Deine Methode ist nichtsdestotrotz genauso korrekt: Aus [mm] $2*(i)+(ii)\,$ [/mm] folgt der Widerspruch [mm] $0=18\,.$)
[/mm]
Übrigens, vll. weißt Du das schon:
Sowohl [mm] $(i)\,$ [/mm] als auch [mm] $(ii)\,$ [/mm] beschreiben eine Ebene des [mm] $\IR^3\,$ [/mm] (deswegen habe ich oben auch [mm] $E_1$ [/mm] bzw. [mm] $E_2$ [/mm] geschrieben). Diese Ebenen haben linear abhängige Normalenvektoren (insbesondere sind diese [mm] $\not=\vektor{0\\0\\0}$).
[/mm]
(Man kann diese auch aus der Darstellung von [mm] $E_1$ [/mm] bzw. [mm] $E_2$ [/mm] ablesen.)
Mit anderen Worten:
Die geometrische Interpretation von dem obigen Gleichungssystem ist, dass die Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und [mm] $E_2$ [/mm] des [mm] $\IR^3$ [/mm] parallel sind, und da das Gleichungssystem keine Lösung hat, sind sie echt parallel (also nicht gleich).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Also was ein homogenes und was ein inhomogenes Gleichungssystem ist,weiß ich nicht,das hatten wir noch nicht.Davon steht auch nix im Buch,ich Buch steht: "Gibt es mehr Variablen als nichttriviale Zeilen,so hat das LGS unendlich viele Lösungen".
Vielleicht hat das irgendwas mit diesem "nichttrivialen" zu tun?
Ich versteht aber noch nicht,was denn "nichttrivial" hier bedeutet??
lg
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> Ok,vielen Dank erstmal für deine Antwort.
> Also was ein homogenes und was ein inhomogenes
> Gleichungssystem ist,weiß ich nicht,das hatten wir noch
> nicht.Davon steht auch nix im Buch,ich Buch steht: "Gibt es
> mehr Variablen als nichttriviale Zeilen,so hat das LGS
> unendlich viele Lösungen".
>
> Vielleicht hat das irgendwas mit diesem "nichttrivialen" zu
> tun?
> Ich versteht aber noch nicht,was denn "nichttrivial" hier
> bedeutet??
>
> lg
Hallo,
mit trivialer Zeile ist hier gemeint: 0 = 0
Alle anderen Zeilen (z.B. 3x + 2y + z = 5) sind dementsprechend nichttriviale Zeilen.
Ich denke in diesem Fall handelt es sich schlicht um einen Fehler im Buch. Die Aussage stimmt insoweit als dass ein unterbestimmtes LGS - sofern es lösbar ist - nicht nur eine, sondern unendlich viele Lösungen hat. Der Autor des Buches scheint schlicht die Möglichkeit außer Acht gelassen zu haben, dass ein LGS eben auch wie in deinem Fall gar keine Lösung haben kann.
Um die Sache zusammenzufassen:
Ein unterbestimmtes LGS hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen und du hast alles richtig gerechnet. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 So 05.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok,vielen Dank erstmal für deine Antwort.
> Also was ein homogenes und was ein inhomogenes
> Gleichungssystem ist,weiß ich nicht,das hatten wir noch
> nicht.
ein lineares homogenes Gleichungssystem hat, wenn man so will, die Eigenschaft, dass wenn man bei jeder Gleichung die Variablen auf eine Seite sortiert und die Konstante dann auf die andere Seite der Gleichung bringt, dann bei der anderen Seite der Gleichung nur die Konstante [mm] $0\,$ [/mm] stehen.
Bei einem inhomogenen lin. Gleichungssystem gibt es mindestens eine Gleichung, so dass die 'Seite ohne Variablen' eine Konstante [mm] $\not=0$ [/mm] enthält.
Beispiele:
1.)
$3x+7y=4$ ist eine inhomogene lin. Gleichung in den Variablen [mm] $x,y\,.$
[/mm]
2.)
[mm] $3x+2y+7z=0\,,$
[/mm]
[mm] $5x-z+12=0\,,$
[/mm]
[mm] $3x-5y=8\,.$
[/mm]
ist ein inhomogenes lin. Gleichungssystem in den Variablen [mm] $x,y,z\,.$ [/mm] Entweder erkennst Du das sofort an der dritten Gleichung, oder aber an der zweiten, denn
$5x-z+12 [mm] \gdw [/mm] 5x-z=-12$ und $-12 [mm] \not=0\,.$
[/mm]
3.)
[mm] $w+3x+4y=-7z\,,$
[/mm]
[mm] $2w+5x=z\,,$
[/mm]
[mm] $5w-3x-5y=0\,.$
[/mm]
ist ein lin. homogenes Gleichungssystem in den Variablen [mm] $w,x,y,z\,.$ [/mm] Denn das ist äquivalent zu:
[mm] $w+3x+4y+7z=0\,,$
[/mm]
[mm] $2w+5x-z=0\,,$
[/mm]
[mm] $5w-3x-5y=0\,,$
[/mm]
und bei jeder Gleichung stehen auf der linken Seite alle auftretenden Variablen und rechts die verbleibende Konstante, die ist hier aber stets [mm] $0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 So 05.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank euch beiden.
Dann geh ich jetzt mal davon aus,dass das ein Fehler im Buch war.Ansosnten ist mir jetzt alles klar =)
lg
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Hallo und guten Abend,
ich habe mir gedacht, du könntest mit folgendem Algorithmus vielleicht etwas anfangen, und zwar handelt es sich um ein "Diophantisches Gleichungssystem.
Dazu habe ich dir den Link zu Wikipedia herausgesucht:
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Diophantische_Gleichung
http://de.wikipedia.org/wiki/Diophantische_Gleichung
und das besonders schöne ist der Online-Generator zum Lösen dieser Gleichungen:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm#script
Als Beispiel habe ich in einer uralten Zeitschrift dieses Rätsel gefunden:
Ein Bankkassierer verwechselte DM und Pfennig eines Schecks, den ihm eine Dame am Schalter vorlegte, und zahlte der Dame somit zuviel Geld aus.
Nachdem die Dame vor Freude 3,33 DM sinnlos verprasst hatte, hatte sie noch das Dreifache des ursprünglichen Scheckbetrages übrig. Wie hoch war dieser?
Nun, du wirst sehen, dass der Generator dieses Problem löst.
Viel, viel Spaß dabei.
Wenn du/ihr erst einmal rumprobieren wollt... paar Zeilen tiefer die Eingabezeile für den Generator.
Gruß Rechenschieber
-299x + 97y = 333
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