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| Aufgabe | | Seien m , n [mm] \in [/mm] N \ {0} mit m<n. Zeigen Sie , dass die Menge {[k·m] [mm] \in [/mm] Zn |k [mm] \in [/mm] N} eine Untergruppe von (Zn,+) bildet. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo =),
ich habe ein paar Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe. Die Menge, die ich als Untergruppe zeigen soll, ist ja eine Äquivalenzklasse. Kann eine Äquivalenzklasse denn überhaupt eine Menge sein? Und dann soll das ganze ja noch eine Untergruppe sein, aber eine Untergruppe, genau wie eine Gruppe, muss ja auch eine Verknüpfung haben. Diese muss ja dann plus sein, oder? (wegen (Zn,+) ) Wie würde dann die Schreibweise dieser Untergruppe sein? ({[k·m] [mm] \in [/mm] Zn |k [mm] \in [/mm] N} , +) ?
Dann zu der Aufgabe. Um die Untergruppe zu zeigen, muss ich doch eigentlich bloß zeigen, dass die Menge nicht leer ist, dass sie abgeschlossen.
Dadurch, dass eine Äuqivalenzklasse nicht leer sein kann, wobei ich nicht weiß weswegen, ist die Menge ja nicht leer.
Bei der Abgeschlossenheit muss ich 2 Elemente aus der Menge nehmen und zeigen, dass die Verknüpfung auch in der Menge ist, aber wie? Ich habe halt Probleme mit der Äuqivalenzklasse, da dazu keine Äquivalenzrelation definiert ist.
Ich würde mich über Hilfe und Ratschläge sehr freuen.
MfG
Mathemaus
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> Seien m , n [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N \ {0} mit m<n. Zeigen Sie , dass die
> Menge {[k·m] [mm]\in[/mm] Zn |k [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N} eine Untergruppe von (Zn,+)
> bildet.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo =),
>
> ich habe ein paar Verständnisprobleme bei dieser Aufgabe.
> Die Menge, die ich als Untergruppe zeigen soll, ist ja eine
> Äquivalenzklasse. Kann eine Äquivalenzklasse denn
> überhaupt eine Menge sein? Und dann soll das ganze ja noch
> eine Untergruppe sein, aber eine Untergruppe, genau wie
> eine Gruppe, muss ja auch eine Verknüpfung haben. Diese
> muss ja dann plus sein, oder? (wegen (Zn,+) ) Wie würde
> dann die Schreibweise dieser Untergruppe sein? ({[k·m] [mm]\in[/mm]
> Zn |k [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N} , +) ?
>
Die Menge selbst ist keine Äquivalenzklasse, sondern eine Teilmenge von Zn
Ihre Elemente sind als Elemente von Zn Äquivalenzklassen.
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> Dann zu der Aufgabe. Um die Untergruppe zu zeigen, muss ich
> doch eigentlich bloß zeigen, dass die Menge nicht leer
> ist, dass sie abgeschlossen.
>
> Dadurch, dass eine Äuqivalenzklasse nicht leer sein kann,
> wobei ich nicht weiß weswegen, ist die Menge ja nicht
> leer.
Du musst zeigen, dass die Menge die 0 (genauer die Äquivalenzklasse von 0 in Zn) enthält
>
> Bei der Abgeschlossenheit muss ich 2 Elemente aus der Menge
> nehmen und zeigen, dass die Verknüpfung auch in der Menge
> ist, aber wie? Ich habe halt Probleme mit der
> Äuqivalenzklasse, da dazu keine Äquivalenzrelation
> definiert ist.
Dazu solltest du natürlich wissen, wie die Addition in Zn definiert ist.
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> Ich würde mich über Hilfe und Ratschläge sehr freuen.
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> MfG
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> Mathemaus
Ich würde in jedem Fall empfehlen, dir an einem Beispiel für konkrete Werte von n und m anzuschauen,wie die Menge aussieht.
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Ich habe deinen Rat befolgt und mir 2 Werte für m und n genommen. Jedoch verstehe ich es noch immer nicht. Ich habe trotzdem keine Ahnung wie ich mir die Menge vorzustellen und die Aufgabe zu bewältigen habe.
Es gibt doch 3 Eigenschaften, die ich zeigen muss, dass es eine Untergruppe ist, aber welche war noch mal die 3.? ^^
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> Ich habe deinen Rat befolgt und mir 2 Werte für m und n
> genommen. Jedoch verstehe ich es noch immer nicht. Ich habe
> trotzdem keine Ahnung wie ich mir die Menge vorzustellen
> und die Aufgabe zu bewältigen habe.
Für n=5, m=3 erhältst du z.B die Äquivalenzklassen
[0], [3], [6]=[1], [9]=[4] und [12]=[2], also ganz [mm] \IZ_5
[/mm]
Und der Beweis ist gar nicht so schwer: Für die Abgeschlossenheit z.B. betrachtest du zwei Elemente
[k_1m] und [k_2m] und folgerst
[mm] [k_1m]+[k_2m]=[k_1m+k_2m]=[(k_1+k_2)m]
[/mm]
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> Es gibt doch 3 Eigenschaften, die ich zeigen muss, dass es
> eine Untergruppe ist, aber welche war noch mal die 3.? ^^
>
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Dass zu [k] auch das Inverse -[k] dazugehört.
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Aber wie kannst du spezielle Äquivalenzklassen festlegen, wenn du für n und m spezielle Werte einsetzt, weil die Äquivalenzklasse ist doch k*m und du hast doch das k noch?
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> Aber wie kannst du spezielle Äquivalenzklassen festlegen,
> wenn du für n und m spezielle Werte einsetzt, weil die
> Äquivalenzklasse ist doch k*m und du hast doch das k noch?
Deshalb habe ich ja in meinem Beispiel 5 Äquivalenzklassen für k=0, 1, 2, 3, 4 hingeschrieben. Und danach geht es mit k=5, 6, 7,... wieder von vorn los:
[15]=[0], [18]=[3],....
Und für den allgemeinen Beweis kannst du ja einfach [k*m] schreiben.
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ah, danke =) jetzt habe ich es verstanden . du sagst , dass man zeigen muss, dass [k] = -[k], aber muss ich hier nicht zeigen, dass [k*m] = -[k*m] ?
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> ah, danke =) jetzt habe ich es verstanden . du sagst , dass
> man zeigen muss, dass [k] = -[k], aber muss ich hier
> nicht zeigen, dass [k*m] = -[k*m] ?
>
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Naja, ganz so stimmt es noch nicht. Zunächst musst du dir überlegen, wie das inverse Element in [mm] \IZ_n [/mm] aussieht.
Zu [mm] [x]\in\IZ_n [/mm] ist dies die Äquivalenzklasse von -x.
In der Aufgabe ist dann zu zeigen, dass zu [x]=[k*m] auch [-k*m] in der betrachteten Teilmenge M liegt.
Dazu betrachtest du k'=n-k und folgerst [mm] [(n-k)*m]=[n*m-k*m]=[-k*m]\in [/mm] M
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ich habe mal noch eine andere frage, wenn ich zeigen will, dass die menge nicht leer ist, kann ich dann sagen, dass k=0 sein soll und k*m, dann 0 ist und somit die äquivalenzklasse von 0 in Zn. dann habe ich aber nur für k=0 gezeigt, dass Zn nicht leer ist und nicht für alle anderen k (müsste ja dann eigentlich noch zeigen, dass (k+1)*m auch drin liegt, ne?)
danke, dass du dir so viel zeit nimmst mir zu helfen, ich weiß ich stell mich dumm an.
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> ich habe mal noch eine andere frage, wenn ich zeigen will,
> dass die menge nicht leer ist, kann ich dann sagen, dass
> k=0 sein soll und k*m, dann 0 ist und somit die
> äquivalenzklasse von 0 in Zn. dann habe ich aber nur für
> k=0 gezeigt, dass Zn nicht leer ist und nicht für alle
> anderen k (müsste ja dann eigentlich noch zeigen, dass
> (k+1)*m auch drin liegt, ne?)
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> danke, dass du dir so viel zeit nimmst mir zu helfen, ich
> weiß ich stell mich dumm an.
Wenn's um nichtleer geht, reicht ja ein Element, also nimmst du k=0 (soforn die 0 bei euch zu [mm] \IN [/mm] gehört).
Dann hast du praktischerweise auch gleich das neutrale Element der Gruppe.
Und ansonsten liegt für jedes [mm] k\in\IN [/mm] [m*k] per Definition in der betrachteten Menge, da gibt es nicht viel zu zeigen.
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Danke für deine Hilfe =) ich versuch jetzt noch mir über deine vorgehensweise bei dem Inversen klar zu werden und dann hab ichs . jetzt weiß ich auch wie ich mir Zn genau vorzustellen habe, danke =)
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