Untergruppe, Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Teilmenge V={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} von [mm] S_{4} [/mm] gegeben.
a) Zeige: V ist Untergruppe von [mm] S_{4}
[/mm]
b) Zeige: V ist Normalteiler von [mm] S_{4} [/mm] |
a) Reicht es zu schreiben, dass das Inverse des Neutralelements das neutralelement ist und V von sich selbst das Inverse ist. V ist eine Teilmenge von [mm] S_{4} [/mm] und die Verknüpfung ist in [mm] S_{4}?
[/mm]
b) Bedingung: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in S_{4} [/mm] und u [mm] \in [/mm] V gilt: [mm] xux^{-1} \in [/mm] V
Aber wie wende ich das an? Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte (bitte auch bei den anderen beiden (noch offenen) Fragen, die ich gestellt hab.
|
|
| |
|
Moin rollroll,
> Teilmenge V={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} von [mm]S_{4}[/mm]
> gegeben.
> a) Zeige: V ist Untergruppe von [mm]S_{4}[/mm]
> b) Zeige: V ist Normalteiler von [mm]S_{4}[/mm]
> a) Reicht es zu schreiben, dass das Inverse des
> Neutralelements das neutralelement ist und V von sich
> selbst das Inverse ist.
Wovon sprichst Du? V ist eine Gruppe!
> V ist eine Teilmenge von [mm]S_{4}[/mm] und
> die Verknüpfung ist in [mm]S_{4}?[/mm]
Zum Nachweis, dass V Untergruppe ist, musst Du zeigen:
a) [mm] $a,b\in [/mm] V [mm] \Rightarrow ab\in [/mm] V$
b) [mm] $a\in [/mm] V [mm] \Rightarrow a^{-1}\in [/mm] V$
c) [mm] e\in [/mm] V
b) und c) sind hier (fast) trivial, bei a) musst du wenig rechnen (das meiste geht analog).
> b) Bedingung: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in S_{4}[/mm] und u [mm]\in[/mm] V gilt:
> [mm]xux^{-1} \in[/mm] V
> Aber wie wende ich das an? Wäre toll, wenn mir jemand
> helfen könnte (bitte auch bei den anderen beiden (noch
> offenen) Fragen, die ich gestellt hab.
Wenn dir bekannt ist, dass die Transpositionen [mm] \tau_k=(1,k), 2\leq k\leq4 [/mm] die Gruppe [mm] S_4 [/mm] erzeugen, brauchst du lediglich für diese nachrechnen, dass für [mm] v\in [/mm] V
[mm] $\tau_k [/mm] v [mm] \tau_k^{-1}\subset [/mm] V$
gilt. Keine Scheu, hier muss man ein bisschen rechnen.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 23.11.2011 | | Autor: | rollroll |
a) also z.B.: (12)(34)(13)(24) = (14)(23)
usw, der Rest geht dann analog, also
(12)(34)(14(23)=(13)(24) usw, oder?
Das neutralelement ist doch id..?
Das inverse von (12)(34), ist (21)(43)?
b)
Also muss ich z.B. nachrechnen, dass ((12)(12)(34)(21)) [mm] \subset [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
> a) also z.B.: (12)(34)(13)(24) = (14)(23)
> usw, der Rest geht dann analog,
Ja.
> also
> (12)(34)(14(23)=(13)(24) usw, oder?
> Das neutralelement ist doch id..?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das inverse von (12)(34), ist (21)(43)?
, beachte, dass in Zyklenschreibweise (12)(34)=(21)(43) gilt.
> b)
> Also muss ich z.B. nachrechnen, dass ((12)(12)(34)(21))
> [mm]\subset[/mm] V ist?
So siehts aus. Es ist nicht schwer.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
stimmt das so:
(12)((12)(34))(21)=(12)(34)
(12)((13)(24))(21)=(13)(24)...
|
|
|
| |
|
> stimmt das so:
> (12)((12)(34))(21)=(12)(34)
> (12)((13)(24))(21)=(13)(24)...
Sind das jetzt 8 aus 24 ohne Zusatzzahl?
Betrachte [mm] $\pi=(12)((13)(24))(21)$ [/mm] und [mm] $\sigma=(13)(24)$
[/mm]
Was ist [mm] $\pi(1)$ [/mm] und was ist [mm] $\sigma(1)$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 24.11.2011 | | Autor: | rollroll |
(13)(24) ist doch umgeschrieben:
1 2 3 4
3 4 1 2
dann hab ich gerechnet:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 1 2 verknüpft mit 2 1 3 4 und erhalte 4 3 1 2 , das verknüpfe ich
mit
1 2 3 4 und erhalte 1 2 3 4 und das ist doch: (14)(23)
2 1 3 4 4 3 2 1
Hatte mich eben verschreiben, sorry.
Wenn ich aber alle 9 fälle durchgerechnet hab, bin ich doch fertig, oder?
|
|
|
| |
|
> Hatte mich eben verschreiben, sorry.
> Wenn ich aber alle 9 fälle durchgerechnet hab, bin ich
> doch fertig, oder?
>
Ja.
Es geht auch ohne große Rechnerrei. Du hast
[mm]V_4=\{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}[/mm] (Kleinsche Vierergruppe)
Für eine Permutation [mm]\phi[/mm] gilt [mm]\phi\circ(a b c \ldots)\circ\phi^{-1}=(\phi(a) \phi(b) \ldots)[/mm]
Damit ist [mm] $\phi\circ (ab)(cd)\phi^{-1}=\ldots$ [/mm] und ...
versuch das mal auszunutzen am Ende musst du wieder in [mm] $V_4$ [/mm] landen, d.h. du brauchst so etwas vom Format wie [mm] $(wy)(xz)\;$. [/mm] Hast du das gezeigt, dann hast du gewonnen.
|
|
|
|
