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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 08.11.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei S := {(1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)} [mm] \subset \IR^{2}.
[/mm]
Bestimme die Untergruppe G(S) := {g [mm] \in GL_{2}(\IR) [/mm] | [mm] g(S)\subseteq [/mm] S} von [mm] GL_{2}(\IR).
[/mm]
Hinweis: Zeichne die Menge S. |
Hallo forum!
bei der folgenden aufgabe hab ich schon so meine schwierigkeiten sie zu verstehen.
ich hoffe, ihr könnt mich da aufklären.
Stimmt es, dass die Menge S eine Menge von 4 Punkten (im koodinatensystem) ist?
wenn ja, dann versteh ich nicht, warum bei G(S) folgendes steht: [mm] g(S)\subseteq [/mm] S.
g ist doch nämlich eine matrix aus [mm] GL_{2}(\IR). [/mm] was bedeutet dann g(S)? die matrix von einem punkt? wie kann ich mir das vorstellen?
ich hab zwar den hinweis befolgt, und die menge S gezeichnet. da kommt ein quadrat raus, dass auf der spitze steht, wobei der diagonalschnittpunkt der ursprung ist. aber was hilft mir das weiter?
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen! vielen dank!
VHN
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Hallo VHN,
> Sei [mm]S := {(1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)} \subset \IR^{2}.[/mm]
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> Bestimme die Untergruppe [mm]G(S) := {g \in GL_{2}(\IR) |
g(S)\subseteqS}[/mm] von [mm]GL_{2}(\IR).[/mm]
> Hinweis: Zeichne die Menge S.
> Hallo forum!
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> bei der folgenden aufgabe hab ich schon so meine
> schwierigkeiten sie zu verstehen.
> ich hoffe, ihr könnt mich da aufklären.
> Stimmt es, dass die Menge S eine Menge von 4 Punkten (im
> koodinatensystem) ist?
Schon, aber das hilft Dir nicht viel weiter fürchte ich.
> wenn ja, dann versteh ich nicht, warum bei G(S) folgendes
> steht: [mm]g(S)\subseteq[/mm] S.
> g ist doch nämlich eine matrix aus [mm]GL_{2}(\IR).[/mm] was
> bedeutet dann g(S)? die matrix von einem punkt? wie kann
> ich mir das vorstellen?
$g$ stellt aber auch eine (bijektive) lineare Abb. [mm] $\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] dar. Es ist also gefragt nach denjenigen [mm] $g\in GL_{2}(\IR)$, [/mm] die jedes Element aus $S$ wieder auf ein Element in $S$ abbilden.
>
> ich hab zwar den hinweis befolgt, und die menge S
> gezeichnet. da kommt ein quadrat raus, dass auf der spitze
> steht, wobei der diagonalschnittpunkt der ursprung ist.
> aber was hilft mir das weiter?
Hm, wieso stehts auf der Spitze ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") ? Naja - dreh doch mal Dein Quadrat: Bei welchem Winkel liegt sozusagen das "gedrehte Quadrat" auf dem Ausgangsquadrat? Oder spiegele es an der Diagonalen.
Jetzt etwas klara  ?
Mfg
zahlenspieler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Fr 10.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
Also, du hast ja schon geklärt, wie S überhaupt aussieht. die Matrizen, die du untersuchen sollst, beschreiben bijektive lineare Abbildungen des [mm] \IR^{2} [/mm] in sich. Da S eine endliche Menge ist und die Abb. g bijektiv, folgt aus dem Enthaltensein bereits Gleichheit.
Du suchst also die (Unter-)Gruppe, die das von S gebildete Quadrat auf sich abbildet.
Jetzt erstmal ganz anschaulich: Um ein Quadrat auf sich abzubilden, gibt es 4 Drehungen (eine davon um 0°) und 4 Spiegelungen. Die zugehörige Gruppe wird auch die Diedergruppe [mm] D_{4} [/mm] genannt.
Wie findest du diese Gruppe bei den Matrizen wieder? Du kannst dir z. B. überlegen, daß die Abb. vollständig beschrieben wird durch die Bilder von (1,0) und von (0,1). Und wenn das Bild von (1,0) feststeht, darf das Bild von (1,0) weder das gleiche noch das negative davon sein wg. der Bijektivität.
Jetzt bleibt noch die Aufgabe, die Matrizen hinzuschreiben (die Spalten der Abb.-matrix) sind die Bilder der Basisvektoren) und das ganze in eine mathematisch ansprechende Form zu bringen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:21 Sa 11.11.2006 | | Autor: | VHN |
hallo!!
vielen dank für eure hilfe!
ich hätte aber eine frage zu dem posting von statler.
ich habe das, was du mir beschrieben hast, so gut es geht, versucht umzusetzen, allerdings ist mir noch so vieles unklar.
hier ist mein ansatz:
g ist bijektion mit [mm] \IR^{2} \to \IR^{2}.
[/mm]
gesucht ist ein g mit g(S)=S.
nun habe ich folgendes def.:
G(S) = {id, f, [mm] f^{2}, f^{3}, [/mm] g, gf, [mm] gf^{2}, gf^{3} [/mm] } = [mm] D_{4}
[/mm]
wobei f drehung um [mm] \bruch{2\pi}{n}, [/mm] g spiegelung.
id ist drehung um 0°,
f drehung um [mm] \bruch{2\pi}{4}=\bruch{\pi}{2}=90°,
[/mm]
[mm] f^{2}=f \circ [/mm] f= 180°,
[mm] f^{3}=270°.
[/mm]
id, f, [mm] f^{2}, f^{3} [/mm] sind die 4 drehungen.
die 4 spiegelungen sind:
g spiegelung an y-achse
gf spiegelungan x-achse
[mm] gf^{2}, gf^{3} [/mm] spiegelung an diagonalen.
meine fragen dazu wären:
ist mein ansatz richtig?
ist die gruppe G(S), so wie ich sie angegeben habe, die gesuchte untergruppe hier?
wie kann ich aber die abbildungen f und g konkret angeben?
und wie kann ich all das in matrizen form (mathematische form) schreiben?
vielen dank für deine hilfe!
VHN
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Do 16.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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