Untergruppe von GL(n,K) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien K ein Körper und [mm] n\in \IN. [/mm] Wir definieren die Menge
[mm] O(n,K)={A\in M_{nxn}(K), A^T*A=E}
[/mm]
a) es sei [mm] \alpha \in \IR [/mm] beliebig. Zeige, dass [mm] A=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm] und [mm] B=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -cos(\alpha) } [/mm] Elemente von [mm] O(2,\IR) [/mm] sind.
b) zeige, dass O(2,K) eine Untergruppe der GL(n,K)ist.
c)Zeige, dass für [mm] A\in [/mm] o(n,K)gilt: det(A)=1 oder det(A)=-1. |
Die Aufgabe habe ich in einer alten Klausur gefunden und würde die zur Übung gerne mal durchrechnen.
a)Wenn A und B Elemente der Menge sein sollen, dann müssen sie die Eigenschaft [mm] A^T*A=E [/mm] erfüllen, das heißt ich muss zeigen, dass das bei A und B der Fall ist.
[mm] A^T [/mm] ist die Transponierte Matrix, also [mm] A^T=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }
[/mm]
[mm] A^T*A=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }*
[/mm]
[mm] \pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }
[/mm]
=
[mm] (cos(\alpha)*cos(\alpha)+sin(\alpha)*sin(\alpha)) [/mm] + [mm] (-cos(\alpha)*sin(\alpha)+sin(\alpha)*cos(\alpha))
[/mm]
[mm] (-sin(\alpha)*cos(\alpha)+cos(\alpha)*sin(\alpha))+(-sin(\alpha)*-sin(\alpha)+cos(\alpha)*cos(\alpha))
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Denn:
[mm] (cos(\alpha)*cos(\alpha)+sin(\alpha)*sin(\alpha))=1
[/mm]
[mm] (-cos(\alpha)*sin(\alpha)+sin(\alpha)*cos(\alpha))=0
[/mm]
[mm] (-sin(\alpha)*cos(\alpha)+cos(\alpha)*sin(\alpha))=0
[/mm]
[mm] (-sin(\alpha)*-sin(\alpha)+cos(\alpha)*cos(\alpha))=1
[/mm]
Und das gleiche bei B.
Damit ist dann gezeigt, dass A und B in der Menge O(n,K) liegen.
Reicht das so aus oder muss ich hier noch irgendwan zeigen oder begründen?
b) O(n,K) soll also eine Untergruppe von GL(n,K) sein.
Hier muss ich die Untergruppeneigenschaften anchweisen
1. [mm] a\not= \emptyset
[/mm]
[mm] 2.a\circ b\in [/mm] O(n,K)
[mm] 3.a^{-1}\in [/mm] O(n,K)
[mm] 4.a\circ b^{-1} \in [/mm] O(n,K)
Nur wie zeige ich das mit [mm] A^T*A=E?
[/mm]
c) det(A)=1 oder det(A)=-1
[mm] det(A)=cos(\alpha)*cos(\alpha)+sin(\alpha)*sin(\alpha)=1 [/mm]
Reicht das um det(A)=1 zu zeigen? Aber warum kann auch det(A)=-1 sein?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es seien K ein Körper und [mm]n\in \IN.[/mm] Wir definieren die
> Menge
>
> [mm]O(n,K)={A\in M_{nxn}(K), A^T*A=E}[/mm]
>
> a) es sei [mm]\alpha \in \IR[/mm] beliebig. Zeige, dass [mm]A=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
> und [mm]B=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & -cos(\alpha) }[/mm]
> Elemente von [mm]O(2,\IR)[/mm] sind.
>
> b) zeige, dass O(2,K) eine Untergruppe der GL(n,K)ist.
>
> c)Zeige, dass für [mm]A\in[/mm] o(n,K)gilt: det(A)=1 oder
> det(A)=-1.
>
> Die Aufgabe habe ich in einer alten Klausur gefunden und
> würde die zur Übung gerne mal durchrechnen.
>
> a)Wenn A und B Elemente der Menge sein sollen, dann müssen
> sie die Eigenschaft [mm]A^T*A=E[/mm] erfüllen, das heißt ich muss
> zeigen, dass das bei A und B der Fall ist.
>
> [mm]A^T[/mm] ist die Transponierte Matrix, also [mm]A^T=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
>
> [mm]A^T*A=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }*[/mm]
>
> [mm]\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
>
> =
> [mm](cos(\alpha)*cos(\alpha)+sin(\alpha)*sin(\alpha))[/mm] +
> [mm](-cos(\alpha)*sin(\alpha)+sin(\alpha)*cos(\alpha))[/mm]
>
> [mm](-sin(\alpha)*cos(\alpha)+cos(\alpha)*sin(\alpha))+(-sin(\alpha)*-sin(\alpha)+cos(\alpha)*cos(\alpha))[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Denn:
> [mm](cos(\alpha)*cos(\alpha)+sin(\alpha)*sin(\alpha))=1[/mm]
> [mm](-cos(\alpha)*sin(\alpha)+sin(\alpha)*cos(\alpha))=0[/mm]
> [mm](-sin(\alpha)*cos(\alpha)+cos(\alpha)*sin(\alpha))=0[/mm]
> [mm](-sin(\alpha)*-sin(\alpha)+cos(\alpha)*cos(\alpha))=1[/mm]
>
> Und das gleiche bei B.
>
> Damit ist dann gezeigt, dass A und B in der Menge O(n,K)
> liegen.
> Reicht das so aus oder muss ich hier noch irgendwan zeigen
> oder begründen?
Es reicht.
>
> b) O(n,K) soll also eine Untergruppe von GL(n,K) sein.
> Hier muss ich die Untergruppeneigenschaften anchweisen
>
> 1. [mm]a\not= \emptyset[/mm]
> [mm]2.a\circ b\in[/mm] O(n,K)
> [mm]3.a^{-1}\in[/mm] O(n,K)
> [mm]4.a\circ b^{-1} \in[/mm] O(n,K)
>
> Nur wie zeige ich das mit [mm]A^T*A=E?[/mm]
Es reicht 1., 2. und 3. zu zeigen.
Zu 1. Na, welche Matrix gehört zu O(n,K)? Gib eine konkret an.
Zu 2. Seien A,B [mm] \in [/mm] O(n,K). Zeige: [mm] $(AB)^T*(AB)=E$
[/mm]
zu 3. Sei A [mm] \in [/mm] O(n,K). Zeige: [mm] (A^{-1})^T*A^{-1}=E
[/mm]
>
> c) det(A)=1 oder det(A)=-1
>
> [mm]det(A)=cos(\alpha)*cos(\alpha)+sin(\alpha)*sin(\alpha)=1[/mm]
>
> Reicht das um det(A)=1 zu zeigen?
Nein.
1. Du sollst das allgemein machen, nicht nur für n=2.
2. Sei $A^TA=E$. Wie hängen [mm] det(A^T) [/mm] und det(A) zusammen ? Was ist die Det. eines Matrizenprodukts.
FRED
> Aber warum kann auch
> det(A)=-1 sein?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Muss ich das bei b) an den gegebenen Matrizen zeigen? Wohl ehr an allgemeinen nehme ich an. An Beispielen istd as kein Problem, aber allgemein fällt mir das noch etwas schwer.
1.) eine konkrete Matrix wäre
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] bei dieser gilt [mm] A^T*A=E
[/mm]
Nehme ich dann dieses Beispiel auch bei 2. und 3.?
c) Also wenn ich mich nicht täusche müsste die [mm] det(A^T)=det(A) [/mm] gelten und die Determinante von dem Produkt ist auch die gleiche wie von den beiden Matrizen.
Nur wie zeige ich das allgemein? An einem Besipiel wäre das simple!
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Di 20.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Muss ich das bei b) an den gegebenen Matrizen zeigen? Wohl
> ehr an allgemeinen nehme ich an.
Ja, allgemein.
> An Beispielen istd as kein
> Problem, aber allgemein fällt mir das noch etwas schwer.
>
> 1.) eine konkrete Matrix wäre
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] bei dieser gilt [mm]A^T*A=E[/mm]
Bingo !!
>
> Nehme ich dann dieses Beispiel auch bei 2. und 3.?
Natürlich nicht !!
Seien A,B $ [mm] \in [/mm] $ O(n,K). Zeige: $ [mm] (AB)^T\cdot{}(AB)=E [/mm] $
Wie macht man das ? Man beherzigt ein paar Rechenregeln, z.B. [mm] (AB)^T=B^TA^T.
[/mm]
Damit wird
$ [mm] (AB)^T\cdot{}(AB)= [/mm] B^TA^TAB$
Desweiteren sollte man die Vor. in die Pfanne hauen. Also mach mal weiter:
$ [mm] (AB)^T\cdot{}(AB)= [/mm] B^TA^TAB= ? = ? $
>
>
> c) Also wenn ich mich nicht täusche müsste die
> [mm]det(A^T)=det(A)[/mm] gelten
Hurra !
> und die Determinante von dem Produkt
> ist auch die gleiche wie von den beiden Matrizen.
Hä?
>
> Nur wie zeige ich das allgemein? An einem Besipiel wäre
> das simple!
$1=det(E)= det (A^TA)$ Mach Du weiter.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Ich sehe , dass ich diese Aufgabe wohl noch nicht ganz fertig bearbeitet habe.
also zu b) Untergruppe nachweisen von [mm] O(n,K)={A\in M_{nxn}(K), A^T*A=E} [/mm]
1. [mm] A\not=\emptyset
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } A^T*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
2. [mm] A,B\in [/mm] O(n,K)
[mm] (AB)^T*AB=E
[/mm]
[mm] (AB)^T=A^T*B^T
[/mm]
[mm] A^T*B^T*A*B=A^T*A*B^T*B
[/mm]
[mm] A^T*A=E
[/mm]
[mm] B^T*B=E
[/mm]
E*E=E
[mm] 3.A^{-1}in [/mm] O)n,K)
[mm] (A^{-1})^T*A^{-1}=E
[/mm]
[mm] (A^{-1})^T*A^{-1}=(A^T)^{-1}*A^{-1}= A*A^{-1}=E
[/mm]
Stimmt das bei 3 so? Da bin ich mir sehr unsicher.
zu c) Gezeigt werden soll, dass für [mm] A\in [/mm] O(n,K) gilt det(A)=1 oder det(A)=-1
[mm] 1=det(E_n)=det(A^T*A)=det(A^T)*det(A)
[/mm]
Da gilt [mm] det(A^T)=det(A) [/mm] müssen [mm] det(A^T)=1 [/mm] und det(A)=1 sein oder [mm] det(A^T)=-1 [/mm] und det(A)=-1 und daher gilt 1*1=1 oder (-1)*(-1)=1
Ist das ausreichend gezeigt für die Aufgabenstellung?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich sehe , dass ich diese Aufgabe wohl noch nicht ganz
> fertig bearbeitet habe.
>
> also zu b) Untergruppe nachweisen von [mm]O(n,K)={A\in M_{nxn}(K), A^T*A=E}[/mm]
>
> 1. [mm]A\not=\emptyset[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } A^T*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> 2. [mm]A,B\in[/mm] O(n,K)
> [mm](AB)^T*AB=E[/mm]
> [mm](AB)^T=A^T*B^T[/mm]
Langsam hab ich den Eindruck, dass Du diejenigen, die Dir helfen, verarschen willst.
was hab ich oben geschrieben: $ [mm] (AB)^T=B^TA^T. [/mm] $
> [mm]A^T*B^T*A*B=A^T*A*B^T*B[/mm]
> [mm]A^T*A=E[/mm]
> [mm]B^T*B=E[/mm]
> E*E=E
>
> [mm]3.A^{-1}in[/mm] O)n,K)
> [mm](A^{-1})^T*A^{-1}=E[/mm]
> [mm](A^{-1})^T*A^{-1}=(A^T)^{-1}*A^{-1}= A*A^{-1}=E[/mm]
>
> Stimmt das bei 3 so?
Ja
> Da bin ich mir sehr unsicher.
>
>
> zu c) Gezeigt werden soll, dass für [mm]A\in[/mm] O(n,K) gilt
> det(A)=1 oder det(A)=-1
>
> [mm]1=det(E_n)=det(A^T*A)=det(A^T)*det(A)[/mm]
> Da gilt [mm]det(A^T)=det(A)[/mm] müssen [mm]det(A^T)=1[/mm] und det(A)=1
> sein oder [mm]det(A^T)=-1[/mm] und det(A)=-1 und daher gilt 1*1=1
> oder (-1)*(-1)=1
Das ist ja grausam !
" .... und daher gilt 1*1=1 oder (-1)*(-1)=1"
Ist das Dein Ernst ??
$1= [mm] det(E_n)=det(A^T*A)=det(A^T)*det(A)=det(A)^2$ [/mm] Somit ist det(A)= [mm] \pm1
[/mm]
Ist das so schwer, so etwas sauber aufzuschreiben ?. Zumal ich Dir doch (fast) alles vorgekaut habe.
FRED
>
> Ist das ausreichend gezeigt für die Aufgabenstellung?
>
>
> MfG
> Mathegirl
>
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> > Ich sehe , dass ich diese Aufgabe wohl noch nicht ganz
> > fertig bearbeitet habe.
> >
> > also zu b) Untergruppe nachweisen von [mm]O(n,K)={A\in M_{nxn}(K), A^T*A=E}[/mm]
> >
> > 1. [mm]A\not=\emptyset[/mm]
> >
> > [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } A^T*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > 2. [mm]A,B\in[/mm] O(n,K)
> > [mm](AB)^T*AB=E[/mm]
> > [mm](AB)^T=A^T*B^T[/mm]
>
>
> Langsam hab ich den Eindruck, dass Du diejenigen, die Dir
> helfen, verarschen willst.
Nein, habs nur falsch aufgeschrieben..
> [mm]1= det(E_n)=det(A^T*A)=det(A^T)*det(A)=det(A)^2[/mm] Somit ist
> det(A)= [mm]\pm1[/mm]
Mir war nicht klar, dass [mm] det(A^T)*det(A)=det(A)^2) [/mm] Wäre mir das klar gewesen, dann hätte ichd as vermutlich auch so geschrieben!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Fr 23.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich sehe , dass ich diese Aufgabe wohl noch nicht ganz
> > > fertig bearbeitet habe.
> > >
> > > also zu b) Untergruppe nachweisen von [mm]O(n,K)={A\in M_{nxn}(K), A^T*A=E}[/mm]
> > >
> > > 1. [mm]A\not=\emptyset[/mm]
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } A^T*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
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> > > 2. [mm]A,B\in[/mm] O(n,K)
> > > [mm](AB)^T*AB=E[/mm]
> > > [mm](AB)^T=A^T*B^T[/mm]
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> > Langsam hab ich den Eindruck, dass Du diejenigen, die Dir
> > helfen, verarschen willst.
>
> Nein, habs nur falsch aufgeschrieben..
>
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> > [mm]1= det(E_n)=det(A^T*A)=det(A^T)*det(A)=det(A)^2[/mm] Somit ist
> > det(A)= [mm]\pm1[/mm]
>
> Mir war nicht klar, dass [mm]det(A^T)*det(A)=det(A)^2)[/mm] Wäre
> mir das klar gewesen, dann hätte ichd as vermutlich auch
> so geschrieben!
Jetzt glaub ich endgültig, dass Du mich gewaltig verarschen willst ! Du selbst hast oben geschrieben:
[mm] det(A^T)=det(A).
[/mm]
Und jetzt sagst Du
"... Mir war nicht klar, dass [mm]det(A^T)*det(A)=det(A)^2[/mm] "
Sag mal, gehts noch ?
FRED
>
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> MfG
> Mathegirl
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