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Untergruppe von (Q,+): Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:11 Di 16.10.2012
Autor: kalifat

Aufgabe
z.z: [mm] \{a/p^n | a,n\in\IZ, n\ge{0}\} [/mm] Untergruppe von [mm] (\IQ,+) [/mm]

Nun, ich möchte zeigen, dass für bel. 2 Elemente x,y aus der Menge [mm] x+y^{-1} [/mm] wieder in der Menge ist.

Sei [mm] x=a/p^n [/mm] und [mm] y=b/p^n [/mm] => [mm] x+y^-1=1/p^n+p^n/b=\bruch{ab+p^{2n}}{b*p^n}, [/mm] dass kann aber nicht in der Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] enthalten sein, wo liegt mein Fehler?

        
Bezug
Untergruppe von (Q,+): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:05 Di 16.10.2012
Autor: angela.h.b.


> z.z: M:=[mm]\{a/p^n | a,n\in\IZ, n\ge{0}\}[/mm] Untergruppe von
> [mm](\IQ,+)[/mm]
>  Nun, ich möchte zeigen, dass für bel. 2 Elemente x,y aus
> der Menge [mm]x+y^{-1}[/mm] wieder in der Menge ist.
>  
> Sei [mm]x=a/p^n[/mm] und [mm]y=b/p^n[/mm] =>
> [mm]x+y^-1=1/p^n+p^n/b=\bruch{ab+p^{2n}}{b*p^n},[/mm] dass kann aber
> nicht in der Teilmenge von [mm]\IQ[/mm] enthalten sein, wo liegt
> mein Fehler?

Hallo,

Du machst zwei Fehler:

1.
wenn Du zwei beliebige Elemente aus der Menge M nimmst, so mußt Du
[mm] x=a/p^n [/mm] und [mm] y=b/p^m [/mm] nehmen, denn die Exponenten sind ja nicht fest.

2.
Der große Fehler ist, daß Du zeigen sollst, daß die Menge eine Gruppe bzgl. + ist, Du aber das inverse Element bzgl der Multiplikation verwendest zum Zeigen der Untergruppeneigenschaft.

LG Angela




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