Untergruppe zyklischer Gruppe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n und r ein Teiler von n. Zeige: Es gibt genau eine Untergruppe U mit ord(U)=r. |
Hi!
Also eine Untergruppe anzugeben, die Ordnung r hat, ist ja leicht. [mm] (, [/mm] wobei g der Erzeuger von G ist).
Aber wie kann ich zeigen, dass es die einzige ist?
Ich wollte irgendwie so anfangen: Sei V eine weitere Untergruppe, ord(V)=r.
Nun wollte ich zeigen, dass [mm] g^\frac{n}{r} \in [/mm] V sein muss, denn dann würde schon die Gleichheit folgen. Aber ich weiß nicht so recht, wie ich das anstellen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 Fr 13.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n und r ein Teiler
> von n. Zeige: Es gibt genau eine Untergruppe U mit
> ord(U)=r.
> Hi!
>
> Also eine Untergruppe anzugeben, die Ordnung r hat, ist ja
> leicht. [mm](,[/mm] wobei g der Erzeuger von G ist).
> Aber wie kann ich zeigen, dass es die einzige ist?
>
> Ich wollte irgendwie so anfangen: Sei V eine weitere
> Untergruppe, ord(V)=r.
> Nun wollte ich zeigen, dass [mm]g^\frac{n}{r} \in[/mm] V sein muss,
> denn dann würde schon die Gleichheit folgen. Aber ich
> weiß nicht so recht, wie ich das anstellen kann.
Schau dir die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$, $x [mm] \mapsto x^r$ [/mm] an. Der Kern davon ist gerade [mm] $\langle g^{n/r} \rangle$ [/mm] (warum?).
Beachte jetzt, dass jede Untergruppe $V$ mit $r$ Elementen [mm] $\varphi(V) [/mm] = [mm] \{ e \}$ [/mm] erfuellt (warum?), also $V [mm] \subseteq \ker \varphi$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hallo, mein Freund der Zahlentheorie!
Vielen Dank für deine Hilfe. Mit dieser Abbildung löst sich alles in Wohlgefallen auf. Ich wäre aber wohl die nächster Zeit nicht darauf gekommen, einfach diese Abbildung zu betrachten. Wie macht man so etwas immer nur? ;)
Ich habe jetzt deine Anleitung befolgt und alles gezeigt, was du vorgegeben hast. Nun hat man $V [mm] \subseteq ker(\varphi)$ [/mm] und weil V und [mm] ker(\varphi) [/mm] gleich viele Elemente haben, muss bereits Gleichheit gelten, also [mm] $V=ker(\varphi)$.
[/mm]
Danke nochmals!
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