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| Aufgabe | a) Ist H := {σ ∈ S4 |σ(4) = 3∨σ(4) = 4} eine Untergruppe von S4?
b) Es seien G eine abelsche Gruppe und H := {g ∈ [mm] G|g^{2}=e}. [/mm] Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von G
c) Weisen Sie nach, dass H := {m ∈ [mm] O2(R)|m^{2}} [/mm] keine Untergruppe von O2(R) ist. Welche Eigenschaft ist nicht erfüllt? |
Hey Leute,
Untergruppe:1. [mm] a,b\in [/mm] U [mm] \Rightarrow a\circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U
2. [mm] a\in [/mm] U [mm] \Rightarrow a^{-1}\in [/mm] U
a) ist keine Untergruppe da 2. nicht erfüllt ist [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3
\end{pmatrix} \in [/mm] H, aber [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 4 & 2
\end{pmatrix} [/mm] (Inverses) [mm] \not\in [/mm] H σ(4) = 2
b) da [mm] g^{2}=e=g*g=e \Rightarrow g=g^{-1}, [/mm] ist 1. erfüllt
Bei zweitens (Untergruppenkriterium) weiß ich nicht weiter.
Ist es bis hier hin soweit richtig ?
beste Grüße zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Sa 22.11.2014 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> a) Ist H := {σ ∈ S4 |σ(4) = 3∨σ(4) = 4} eine
> Untergruppe von S4?
> b) Es seien G eine abelsche Gruppe und H := {g ∈
> [mm]G|g^{2}=e}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von G
> c) Weisen Sie nach, dass H := {m ∈ [mm]O2(R)|m^{2}}[/mm] keine
> Untergruppe von O2(R) ist. Welche Eigenschaft ist nicht
> erfüllt?
> Hey Leute,
>
> Untergruppe:1. [mm]a,b\in[/mm] U [mm]\Rightarrow a\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U
> 2. [mm]a\in[/mm] U [mm]\Rightarrow a^{-1}\in[/mm] U
...und 3. wird gerne vergessen: [mm] $U\neq \emptyset$.
[/mm]
>
> a) ist keine Untergruppe da 2. nicht erfüllt ist
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 4 & 1 & 3
\end{pmatrix} \in[/mm] H, aber
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 1 & 4 & 2
\end{pmatrix}[/mm] (Inverses)
> [mm]\not\in[/mm] H σ(4) = 2
Da die Definition von $H$ wie von Dir angegeben widersinning ist, nehme ich einmal an, dass Du richtig gezeigt hast, dass das zweite Untergruppenkriterium verletzt ist.
>
> b) da [mm]g^{2}=e=g*g=e \Rightarrow g=g^{-1},[/mm] ist 1. erfüllt
> Bei zweitens (Untergruppenkriterium) weiß ich nicht
> weiter.
Ich kann wirklich nicht erkennen, was Deine Reichnung mit der ersten Bedingung zu tun hat, denn gezeigt ist damit, dass die zweite Bedingung erfuellt ist. Ich nehme einfach einmal an, dass Du hier etwas verwechselt hast.
Fuer die erste Bedingung seien [mm] $a,b\in [/mm] H$. Z.z. ist, dass auch [mm] $ab\in [/mm] H$ ist, also [mm] $(ab)^2=1$ [/mm] gilt. Loese hierzu die die Klammer unter Beachtug der Voraussetzung auf.
> Ist es bis hier hin soweit richtig ?
>
> beste Grüße zahlenfreund
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