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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Di 19.05.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen von:
a) [mm] \IZ_{6} [/mm]
b) [mm] S_{3} [/mm]
c) [mm] (\IZ,+) [/mm] |
Hi,
ich weiß jetzt nicht so richtig wie ich anfangen soll. Kann mir vllt jemand ein Tipp geben?
Vielen Dank
Liebe Grüße
riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 19.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Beispiel [mm] $(\IZ,+)$
[/mm]
Welches Element muss auf jeden Fall in der Untergruppe sein?
Dann nimm Dir ein Element aus der Gruppe und verknüpfe es mit sich selbst. Verküpfe das Ergebnis mit diesem Element und denke nach, welche Elemente daher auch noch in der Untergruppe sein müssen. Dann schau nach, ob die Gruppenaxiome noch mehr Elemente in diese Untergruppe zwingen.
Danach nimmst Du das nächste Element und spulst das Programm wieder ab.
Leg mal los.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 20.05.2015 | | Autor: | riju |
> Beispiel [mm](\IZ,+)[/mm]
> Welches Element muss auf jeden Fall in der Untergruppe
> sein?
> Dann nimm Dir ein Element aus der Gruppe und verknüpfe es
> mit sich selbst. Verküpfe das Ergebnis mit diesem Element
> und denke nach, welche Elemente daher auch noch in der
> Untergruppe sein müssen. Dann schau nach, ob die
> Gruppenaxiome noch mehr Elemente in diese Untergruppe
> zwingen.
> Danach nimmst Du das nächste Element und spulst das
> Programm wieder ab.
>
> Leg mal los.
Also, das neutrale Element muss auf jeden Fall in der Untergruppe sein.
Ich kann doch jetzt nicht unendlich viele Elemente überprüfen?
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> > Beispiel [mm](\IZ,+)[/mm]
> > Welches Element muss auf jeden Fall in der Untergruppe
> > sein?
> > Dann nimm Dir ein Element aus der Gruppe und verknüpfe
> es
> > mit sich selbst. Verküpfe das Ergebnis mit diesem Element
> > und denke nach, welche Elemente daher auch noch in der
> > Untergruppe sein müssen. Dann schau nach, ob die
> > Gruppenaxiome noch mehr Elemente in diese Untergruppe
> > zwingen.
> > Danach nimmst Du das nächste Element und spulst das
> > Programm wieder ab.
> >
> > Leg mal los.
>
> Also, das neutrale Element muss auf jeden Fall in der
> Untergruppe sein.
> Ich kann doch jetzt nicht unendlich viele Elemente
> überprüfen?
Hallo,
möglicherweise stellst Du fest, daß es für die anderen Elemente recht ähnlich läuft.
Fang doch erstmal an.
Die 0 muß ganz sicher drin sein.
Jetzt nehmen wir mal an, daß die 5 in der Untergruppe ist.
Nun überlege, welche weiteren Elemente dann auch drin sein müssen.
Vielleicht bekommst Du so eine Idee, wie die Untergruppen von [mm] (\IZ [/mm] ,+) gemacht sind.
LG Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 20.05.2015 | | Autor: | riju |
> > > Beispiel [mm](\IZ,+)[/mm]
> > > Welches Element muss auf jeden Fall in der
> Untergruppe
> > > sein?
> > > Dann nimm Dir ein Element aus der Gruppe und
> verknüpfe
> > es
> > > mit sich selbst. Verküpfe das Ergebnis mit diesem Element
> > > und denke nach, welche Elemente daher auch noch in der
> > > Untergruppe sein müssen. Dann schau nach, ob die
> > > Gruppenaxiome noch mehr Elemente in diese Untergruppe
> > > zwingen.
> > > Danach nimmst Du das nächste Element und spulst das
> > > Programm wieder ab.
> > >
> > > Leg mal los.
> >
> > Also, das neutrale Element muss auf jeden Fall in der
> > Untergruppe sein.
> > Ich kann doch jetzt nicht unendlich viele Elemente
> > überprüfen?
>
> Hallo,
>
> möglicherweise stellst Du fest, daß es für die anderen
> Elemente recht ähnlich läuft.
>
> Fang doch erstmal an.
> Die 0 muß ganz sicher drin sein.
>
> Jetzt nehmen wir mal an, daß die 5 in der Untergruppe
> ist.
> Nun überlege, welche weiteren Elemente dann auch drin
> sein müssen.
> Vielleicht bekommst Du so eine Idee, wie die Untergruppen
> von [mm](\IZ[/mm] ,+) gemacht sind.
>
> LG Angela
> >
> >
>
Dann müssten alle Vielfache von 5 ebenfalls drin sein.
richtig?
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> Dann müssten alle Vielfache von 5 ebenfalls drin sein.
> richtig?
Ja, genau.
Und das läuft für alle [mm] n\in \IN [/mm] so, nicht nur für die 5.
Diese Gruppen sind auf jeden Fall Untergruppen,
das kannst Du schonmal zeigen.
Nun muß man sich überlegen, ob es Untergruppen gibt, die nicht nur die Vielfachen einer Zahl , etwa von 5, enthalten, sondern noch ein weiteres Element, etwa die 42.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 20.05.2015 | | Autor: | chrisno |
> Ich kann doch jetzt nicht unendlich viele Elemente
> überprüfen?
Das ist ein faszinierender Aspekt der Mathematik, dass man genau das kann.
Die Anleitung, die ich Dir gegeben habe, zielt in die Richtung. Zuerst musst Du ein wenig ausprobieren, um Ideen zu bekommen. Dann erkennst Du ein System und schaust, ob Du so die Aufgabe vollständig lösen kannst.
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