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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:02 Mo 07.12.2009 | | Autor: | pfanne |
| Aufgabe | Sei G eine abelsche gruppe und seinen A, B Untergruppen. zeigen Sie:
a) A [mm] \cap [/mm] B ist eine Untergruppe
b) A + B := {a+b| [mm] a\in [/mm] A; b [mm] \in [/mm] B} ist eine untergruppe
c) A + B ist das Supremum der Menge {A,B} bezüglich der Halbordnung [mm] \subset [/mm] auf der Menge der Untergruppen von G
d) A [mm] \cup [/mm] B ist im Allgemeinen keine Untergruppe (Betrachten Sie dazu die Vereinigung zweier Untergruppen der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] und überprüfen Sie die Abgeschlossenheit der Addition). |
Hallo,
a) A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subset [/mm] C ist trivial (wie ich das Wort liebe)
seien a, b aus A [mm] \cap [/mm] B, also a,b [mm] \in [/mm] A und a,b [mm] \in [/mm] B
A und B Untergruppen [mm] \Rightarrow [/mm] a, [mm] b^{-1} \in [/mm] A und a, [mm] b^{-1} \in [/mm] B
also a, [mm] b^{-1} \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B ist Untergruppe
Ist das auch nur annähernd richtig?
Bei b, c, d häng ich völlig.
Wäre dankbar für Hilfe.
Grüße
Pfanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:17 Mo 07.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei G eine abelsche gruppe und seinen A, B Untergruppen.
> zeigen Sie:
> a) A [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B ist eine Untergruppe
> b) A + B := {a+b| [mm]a\in[/mm] A; b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B} ist eine untergruppe
> c) A + B ist das Supremum der Menge {A,B} bezüglich der
> Halbordnung [mm]\subset[/mm] auf der Menge der Untergruppen von G
> d) A [mm]\cup[/mm] B ist im Allgemeinen keine Untergruppe
> (Betrachten Sie dazu die Vereinigung zweier Untergruppen
> der ganzen Zahlen [mm]\IZ[/mm] und überprüfen Sie die
> Abgeschlossenheit der Addition).
>
>
> a) A [mm]\cap[/mm] B [mm]\subset[/mm] C ist trivial (wie ich das Wort liebe)
Du meinst $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] G$.
> seien a, b aus A [mm]\cap[/mm] B, also a,b [mm]\in[/mm] A und a,b [mm]\in[/mm] B
>
> A und B Untergruppen [mm]\Rightarrow[/mm] a, [mm]b^{-1} \in[/mm] A und a,
> [mm]b^{-1} \in[/mm] B
> also a, [mm]b^{-1} \in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B ist
> Untergruppe
Wenn du hier jeweils $a, [mm] b^{-1}$ [/mm] durch $a [mm] \cdot b^{-1}$ [/mm] ersetzt, dann stimmt es.
> Bei b, c, d häng ich völlig.
Bei b) gehst du genauso vor. Ein Element aus $A + B$ ist von der Form $a + b$ mit $a [mm] \in [/mm] A$, $b [mm] \in [/mm] B$. Was ist $-(a + b)$? Und was ist $(a + b) + (c + d)$ mit $c [mm] \in [/mm] A$, $d [mm] \in [/mm] B$?
Bei c) nimmst du irgendeine Untergruppe $U$ von $G$ mit $A [mm] \subseteq [/mm] U$ und $B [mm] \subseteq [/mm] U$. Zeige, dass dann $A + B [mm] \subseteq [/mm] U$ gilt. Zusammen mit b) folgt die Behauptung.
Bei d) musst du mal probieren. Was kennst du so fuer Untergruppen von [mm] $\IZ$? [/mm] Tipp: $A = B$, $A [mm] \subseteq [/mm] B$ und $B [mm] \subseteq [/mm] A$ fuehren nicht zum Erfolg.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Mo 07.12.2009 | | Autor: | pfanne |
danke für die antwort
b)
-(a + b) = -a - b
was bringt mir das jetzt?
c [mm] \in [/mm] A und d [mm] \in [/mm] b
also (a+b)+(c+d) = (a+c)+(b+d)
(a+c) [mm] \in [/mm] A, (b+d) [mm] \in [/mm] B
[mm] \Rightarrow (a^{-1} [/mm] + c) [mm] \in [/mm] A und [mm] (b^{-1} [/mm] + d) [mm] \in [/mm] B
kann ich das daraus folgern? und was bringt das mir? und wo genau will ich überhaupt hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:50 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke für die antwort
>
> b)
> -(a + b) = -a - b
Hier brauchst du, dass die Gruppe kommutativ ist.
> was bringt mir das jetzt?
Untergruppenkriterium?
> c [mm]\in[/mm] A und d [mm]\in[/mm] b
>
> also (a+b)+(c+d) = (a+c)+(b+d)
Weil: Gruppe kommutativ! Nicht vergessen.
> (a+c) [mm]\in[/mm] A, (b+d) [mm]\in[/mm] B
> [mm]\Rightarrow (a^{-1}[/mm] + c) [mm]\in[/mm] A und [mm](b^{-1}[/mm] + d) [mm]\in[/mm] B
Was bitteschoen ist [mm] $a^{-1}$ [/mm] und [mm] $b^{-1}$? [/mm] Meinst du sowas wie $-a$ und $-b$?
> kann ich das daraus folgern? und was bringt das mir? und
> wo genau will ich überhaupt hin?
Du willst das Untergruppenkriterium bemuehen. Genauso wie bei a).
LG Felix
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