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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Di 02.11.2010 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Es sei G eine Gruppe und es seien U1, U2 [mm] \subset [/mm] G Untergruppen.
Man zeige, dass
U1 [mm] \cap [/mm] U2 [mm] \subset [/mm] G
eine Untergruppe von G ist. |
Es ist doch eigentlich logisch..
wenn u1 und u2 Untergruppen von G sind, dann muss der Durchschnitt der beiden, ebenfalls eine Untergruppe bilden, da die beiden Untergruppen bereits aus G sind.
Aber wie beweise ich das formell?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Di 02.11.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> Es sei G eine Gruppe und es seien U1, U2 [mm]\subset[/mm] G
> Untergruppen.
> Man zeige, dass
>
> U1 [mm]\cap[/mm] U2 [mm]\subset[/mm] G
>
> eine Untergruppe von G ist.
(...)
> Aber wie beweise ich das formell?
Hallo low_head,
wie immer, wenn man zeigen will, dass etwas Untergruppe ist, muss man die Untergruppenaxiome nachweisen.
U ist eine Untergruppe von (G,*), wenn gilt:
U1) [mm]e \in U[/mm] (neutrales Element wieder in U)
U2) [mm]x,y \in U \Rightarrow x*y \in U[/mm]
U3) [mm]x \in U \Rightarrow x^{-1} \in U[/mm]
Also, schön der Reihe nach: Warum gilt hier jetzt U1, warum U2, ...? Ist alles recht einfach. 
Noch ein Hinweis: U1 kann man aus U2 und U3 folgern. Das muss man also nicht zwingend von Hand zeigen. Manche Professoren fordern es trotzdem.
Edit: Hatte ich doch glatt 2 Axiome falsch eingegeben, jetzt stimmts.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Di 02.11.2010 | | Autor: | low_head |
Ich muss also nachweisen:
(U1) neutrales Element: e in U: eu = u = ue
(U2) und die Abgeschlossenheit für Produkte, ist mir aber etwas unklar.
(U3) u in U: [mm] u^{-1} [/mm] mit [mm] uu^{-1} [/mm] = e = [mm] u^{-1}u
[/mm]
Zu (U1): U ist nicht leer, also gibt es mindestens ein u in U.
Und da es hier um eine Multiplikation geht haben wir als e die 1.
e ist aber sogar neutral in G, also erst recht in der kleineren Menge U, oder?
Zu (U3): Es sei u aus U. Dann gilt [mm] u^{-1} [/mm] = [mm] eu^{-1} [/mm] in U. Und es ist [mm] uu^{-1} [/mm] = e = [mm] u^{-1}u. [/mm]
Oder verstehe ich das ganze falsch? ><
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Hallo low_head,
> Ich muss also nachweisen:
>
> (U1) neutrales Element: e in U: eu = u = ue
> (U2) und die Abgeschlossenheit für Produkte, ist mir aber
> etwas unklar.
gemeint ist Abgeschlossenheit bzgl. der gegebenen Verknüpfung (der Einfachheit halber mit * bezeichnet)
> (U3) u in U: [mm]u^{-1}[/mm] mit [mm]uu^{-1}[/mm] = e = [mm]u^{-1}u[/mm]
>
> Zu (U1): U ist nicht leer, also gibt es mindestens ein u in
> U.
> Und da es hier um eine Multiplikation geht haben wir als e
> die 1.
> e ist aber sogar neutral in G, also erst recht in der
> kleineren Menge U, oder?
Ja, [mm]U_1, U_2[/mm] sind doch Untergruppen von [mm]G[/mm] nach Vor.
Damit liegt das neutr. Element [mm]e_G[/mm] in [mm]U_1, U_2[/mm], also auch im Schnitt - fertig!
>
> Zu (U3): Es sei u aus U. Dann gilt [mm]u^{-1}[/mm] = [mm]eu^{-1}[/mm] in U.
> Und es ist [mm]uu^{-1}[/mm] = e = [mm]u^{-1}u.[/mm]
>
> Oder verstehe ich das ganze falsch? ><
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du musst dir ein [mm]u\in U_1\cap U_2[/mm] hernehmen und zeigen, dass es dazu ein Inverses [mm]u^{-1}\in U_1\cap U_2[/mm] gibt.
Nutze die Tatsache, dass [mm]U_1, U_2[/mm] Untergruopen sind.
Für beide gilt (U3), also ...
Was ist noch mit (U2)?
Du musst alles vom Schnitt [mm]U_1\cap U_2[/mm] auf die Untergruppen [mm]U_1,U_2[/mm] runter brechen.
Gruß
schachuzipus
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Huhu,
du machst einen schweren Fehler.
Die UR-Eigenschaften stimmen zwar, aber die Aussage:
> Noch ein Hinweis: U1 kann man aus U2 und U3 folgern. Das
> muss man also nicht zwingend von Hand zeigen. Manche
> Professoren fordern es trotzdem.
ist schlichtweg falsch!
Äquivalent zu dem von dir gegebenem U1 ist die Aussage, U sei nicht leer, aber weglassen kann man diese Eigenschaft nicht!
Ich kann dir bspw. eine Menge definieren, die U2 und U3 erfüllt, aber schlichtweg leer ist.
Das ist dann keine Untergruppe. Sonst wäre die leere Menge ja eine Untergruppe, was aber nicht der Fall ist.
MFG,
Gono.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 19:11 Di 02.11.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Gonozal,
du hast natürlich recht. Wenn man U1 weglassen möchte, um es aus U2 und U3 zu folgern, muss man stattdessen voraussetzen, dass U nicht leer ist.
Dann stimmt es wieder.
Danke für die Korrektur und schöne Grüße,
Maraq
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