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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Ich habe kommenden Freitag Prüfung und komme bei dieser Frage überhaupt nicht weiter:
Man gebe alle Untergruppen von [mm]<\IZ,+>[/mm] an. Sind alle diese Untergruppen Normalteiler? (Begründen Sie Ihre Aussage!)
Also ich weiss nicht, wie ich alle Untergruppen angeben soll, [mm]\IZ[/mm] ist doch eine unendliche Menge? Ich vermute mal, dass es etwas mit den Restklassen zu tun hat, weiss aber nicht, wie ich das anschreiben soll.
Zu der Frage bezüglich Normalteiler würde ich mal sagen, dass alle Untergruppen Normalteiler sind, da [mm]<\IZ,+>[/mm] kommutativ ist und alle Untergruppen einer kommutativen Gruppe sind Normalteiler.
lg
Felidae
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Sa 12.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Man gebe alle Untergruppen von [mm]<\IZ,+>[/mm] an. Sind alle diese
> Untergruppen Normalteiler? (Begründen Sie Ihre Aussage!)
>
> Also ich weiss nicht, wie ich alle Untergruppen angeben
> soll, [mm]\IZ[/mm] ist doch eine unendliche Menge? Ich vermute mal,
> dass es etwas mit den Restklassen zu tun hat, weiss aber
> nicht, wie ich das anschreiben soll.
es stimmt, dass es unendlich viele untegruppen gibt, jedoch haben die dirket nichts mit restklassen zu tun, es wird ja keine faktorstruktur (also so etwas wie [mm] ${}^{\displaystyle\mathbb{Z}}/_{\displaystyle n \mathbb{Z}}$) [/mm] betrachtet, sondern [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] mit der gewöhnlichen addition. man kann ja zuerstmal feststellen, dass [m] n\mathbb{Z} = \{\hdots , -2n, -n, 0, n, 2n, \hdots \} [/m] für alle [m] n \in \mathbb{N}_0 [/m] untergruppen sind (für [m] n = 0 [/m] ergibt sich gerade die triviale untergruppe und für [m] n = 1[/m] ganz [m] \mathbb{Z} [/m]!). zeige das am besten erstmal. was dann noch zu tuen ist, ist zu zeigen, dass das alle sind. dazu könnte man für eine untergruppe $H [mm] \subset \mathbb{Z}$ [/mm] und $H [mm] \not= \{0 \}$ [/mm] einfach mal das kleinste positive element $n := [mm] \min [/mm] (H [mm] \cap \mathbb{N})$ [/mm] hernehmen (warum gibt es das?) und zeigen, dass dies die untergruppe erzeugt, also dass gilt: $h = n [mm] \mathbb{Z}$!
[/mm]
probiere das doch mal. wenn du irgendwo nicht weiterkommst, kannst du ja gerne nachfragen!
> Zu der Frage bezüglich Normalteiler würde ich mal sagen,
> dass alle Untergruppen Normalteiler sind, da [mm]<\IZ,+>[/mm]
> kommutativ ist und alle Untergruppen einer kommutativen
> Gruppe sind Normalteiler.
das stimmt auf jeden fall.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Also für [mm]n = 0[/mm] erhalte ich [mm]0*\IZ=\{... ,-1*0,0*0,1*0, ...\} = \{0\}[/mm] und für [mm]n = 1[/mm] [mm]1*\IZ=\{... ,-1*1,0*1,1*1, ...\} =\IZ [/mm].
Für [mm]n = 2[/mm] erhalte ich [mm]2*\IZ=\{... ,-4,-2,0,2,4, ...\} [/mm] das sind alle Vielfachen von 2, für [mm]n = 3[/mm] alle Vielfachen von 3, usw.
Wenn ich jetzt das kleinste positive n nehme, das eine echte Teilmenge erzeugt und nicht [mm]\IZ[/mm] selbst, dann wäre das [mm]n = 2[/mm] oder?
Damit es eine Untergruppe sein kann, muss zumindest [mm]\{2, 0\}[/mm] in der Menge sein. Ich erhalte aber durch [mm]2+2=4[/mm] auch das Element 4, und durch [mm]2+4=6[/mm] das Element 6 usw. - also alle positiven Vielfachen von 2. Weiters müssen auch die Inversen Elemente in der Menge sein, also -2, -4, ... damit ich eine Untergruppe habe und somit habe ich [mm]\{... ,-4,-2,0,2,4, ...\}=2*\IZ[/mm] .
Ich hoffe das stimmt so halbwegs, ich war noch nie gut im Beweise formulieren.
lg
Felidae
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Di 15.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
toll, dass du einen lösungsversuch hier reinstellst (als tipp: stelle das beim nächsten mal am besten als frage, dann wird er vielleicht eher wahrgenommen).
> Hi!
>
> Also für [mm]n = 0[/mm] erhalte ich [mm]0*\IZ=\{... ,-1*0,0*0,1*0, ...\} = \{0\}[/mm]
> und für [mm]n = 1[/mm] [mm]1*\IZ=\{... ,-1*1,0*1,1*1, ...\} =\IZ [/mm].
>
>
> Für [mm]n = 2[/mm] erhalte ich [mm]2*\IZ=\{... ,-4,-2,0,2,4, ...\}[/mm] das
> sind alle Vielfachen von 2, für [mm]n = 3[/mm] alle Vielfachen von
> 3, usw.
das stimmt soweit schonmal. jetzt musst du noch nachweisen, dass das auch untergruppen sind (schau mal nach, wie ihr das definiert habt), das sollte aber mit diesen erkenntnissen nicht allzuschwer sein.
> Wenn ich jetzt das kleinste positive n nehme, das eine
> echte Teilmenge erzeugt und nicht [mm]\IZ[/mm] selbst, dann wäre das
> [mm]n = 2[/mm] oder?
nein. stlele dir vor dir gibt einer eine beliebige untergruppe $H$, von der du nur weißt, dass $H [mm] \not= \{0\}$. [/mm] du weißt zu diesem zeitpunkt noch nicht, dass diese untergruppe die form $H = n [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] haben muss - das willst du erst noch beweisen. nun nimmst du das kleinste positive element $n$. dies wird im allgemeien nicht die $2$ sein, da man dir ja auch $H = 5 [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] angedreht haben kann. nun sollst du beweisen, dass $H = n [mm] \mathbb{Z}$. [/mm] dazu zeigst du am besten die beiden inklusionen:
[m] H \supset n \mathbb{Z} [/m]: hast du schon erledigt (s.u.).
[m] H \subset n \mathbb{Z} [/m]: macht amn am besten mit widerspruch: angenommen es gibt ein $m [mm] \in [/mm] H$ mit $m [mm] \not\in [/mm] n [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] - jetzt division mit rest durch $n$ - was für ein widerspruch ergibt sich?
> Damit es eine Untergruppe sein kann, muss zumindest [mm]\{2, 0\}[/mm]
> in der Menge sein. Ich erhalte aber durch [mm]2+2=4[/mm] auch das
> Element 4, und durch [mm]2+4=6[/mm] das Element 6 usw. - also alle
> positiven Vielfachen von 2. Weiters müssen auch die
> Inversen Elemente in der Menge sein, also -2, -4, ... damit
> ich eine Untergruppe habe und somit habe ich [mm]\{... ,-4,-2,0,2,4, ...\}=2*\IZ[/mm]
damit hast du die eine inklusion oben ja schon gezeigt.
du kannst ja den beweis noch vervollständigen und hier reinstellen, dann wird er bestimmt nochmal von jemand angeschaut!
grüße
andreas
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