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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Di 19.09.2006 | | Autor: | baskolii |
| Aufgabe | Seien H und K Untergruppen von G. Sei [mm] HK=\{hk,h\in H, k\in K\}.
[/mm]
Zeige, dass
[mm] |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|} [/mm] |
Ich kann das nur für endliche Untergruppen zeigen.
Gilt das auch für beliebige Untergruppen?
Danke.
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Hallo Verena,
ja genau, das ist eine Aussage nur für endliche Untergruppen.
Wenn die Gruppen nicht endlich sind,
- ist die Division durch die Kardinalzahl [mm] |S\cap [/mm] T| i.a. nicht definiert,
- kannst Du trotzdem eine Bijektion von ST nach [mm] (S\times T)\slash R_{S,T}
[/mm]
mit der Äquivalenzrelation
[mm] R_{S,T}\subseteq (S\times T)^2, \:\: R_{S,T}=\{((s,t),(s',t'))\in (S\times T)^2|\exists h\in S\cap T\:\: \:mit\:\:\: s'=sh^{-1} ,\: ht=t'\}
[/mm]
angeben, die also Äquivalenzklassen der Größe [mm] |S\cap [/mm] T| hat.
Gruss,
Mathias
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| Aufgabe | Aufgabe
Seien H und K Untergruppen von G. Sei $ [mm] HK=\{hk,h\in H, k\in K\}. [/mm] $
Zeige, dass
$ [mm] |HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|} [/mm] $ gilt. |
Hallo, kann mir jemand sagen, wie ich das beweisen kann? habe absolut keine idee und bitte um hilfe. am besten mit kompletter lösung.
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> Aufgabe
> Seien H und K Untergruppen von G. Sei [mm]HK=\{hk,h\in H, k\in K\}.[/mm]
>
> Zeige, dass
> [mm]|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}[/mm] gilt.
> Hallo, kann mir jemand sagen, wie ich das beweisen kann?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Mach' Dir zuerst klar, das HK die Vereinigung der Nebenklassen Hk mit k [mm] \in [/mm] K ist,
also
[mm] HK=\bigcup_{k \in K}Hk
[/mm]
Wir mächtig sind die Nebenklassen Hk jeweils?
Um die Mächtigkeit von HK herauszufinden, muß man nun aufpassen, daß man keine Nebenklassen doppelt zählt.
Wann ist denn Hk=Hk' ?
Wieviele disjunkte Nebenklassen gibt es?
Wenn Du das schließlich herausgefunden hast, hast Du die Lösung.
Gruß v. Angela
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Zeigen Sie dass |HK|= [mm] \bruch{|H|*|K|}{|H \cap K| } [/mm] ist, wobei H und K Untergruppen einer endlichen G sei.
Also ich habe jetzt [mm] h_1, h_2 [/mm] aus H und [mm] k_1, k_2 [/mm] aus K.
Es gilt [mm] h_1 k_1=h_2 k_2, [/mm] g.d.w. [mm] {h_2}^{-1}*h_1=k_2*{k_1}^{-1} [/mm] (=:d aus H schnitt K), also ein d aus H schnitt K existiert mit [mm] h_1=h_2*d [/mm] und [mm] k_2=d*k_1. [/mm] Jetzt bin ich fertig, oder?
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> Zeigen Sie dass |HK|= [mm]\bruch{|H|*|K|}{|H \cap K| }[/mm] ist,
> wobei H und K Untergruppen einer endlichen G sei.
> Also ich habe jetzt [mm]h_1, h_2[/mm] aus H und [mm]k_1, k_2[/mm] aus K.
> Es gilt [mm]h_1 k_1=h_2 k_2,[/mm] g.d.w.
> [mm]{h_2}^{-1}*h_1=k_2*{k_1}^{-1}[/mm] (=:d aus H schnitt K), also
> ein d aus H schnitt K existiert mit [mm]h_1=h_2*d[/mm] und
> [mm]k_2=d*k_1.[/mm] Jetzt bin ich fertig, oder?
Fertig bist Du, wenn die Behauptung gezeigt ist.
Wieso meinst Du, daß Du jetzt fertig bist?
Wie sehe ich, daß die Behauptung gilt?
Ich bin nicht überzeugt...
Ich sehe bisher nur, daß Du gesagt hast, daß [mm] h_1 k_1=h_2 k_2 [/mm] gilt, wenn H [mm] \cap [/mm] K nichtleer ist. Das haut mich noch nicht vom Hocker - denn dieser Schnitt ist NIE leer. Das neutrale Element ist immer drin.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 28.10.2006 | | Autor: | searius |
Hallo Angela,
kannst du mir nur bitte sagen, wann Hk = Hk´ gilt?
Danke,
SEARIUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Searius,
> kannst du mir nur bitte sagen, wann Hk = Hk´ gilt?
das gilt genau dann, wenn $H = H k' [mm] k^{-1}$ [/mm] gilt (beide Seiten mit [mm] $k^{-1}$ [/mm] multiplizieren). Und das wiederum gilt genau dann, wenn $k' [mm] k^{-1} \in [/mm] H$ ist (wenn das in $H$ ist, dann ist die Gleichung klar, und andersherum, $1 [mm] \in [/mm] H$ und somit $1 [mm] \cdot [/mm] k' [mm] k^{-1} \in [/mm] H$).
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:47 So 29.10.2006 | | Autor: | searius |
> Hallo Searius,
>
> > kannst du mir nur bitte sagen, wann Hk = Hk´ gilt?
>
> das gilt genau dann, wenn [mm]H = H k' k^{-1}[/mm] gilt (beide
> Seiten mit [mm]k^{-1}[/mm] multiplizieren). Und das wiederum gilt
> genau dann, wenn [mm]k' k^{-1} \in H[/mm] ist (wenn das in [mm]H[/mm] ist,
> dann ist die Gleichung klar, und andersherum, [mm]1 \in H[/mm] und
> somit [mm]1 \cdot k' k^{-1} \in H[/mm]).
>
> LG Felix
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Hallo Felix,
ich hatte es mir ungefähr auch so überlegt :
Hk = Hk´ <=> k´€ Hk
<=> es gibt h € H mit k´= k*h
<=> es gibt h € H mit (k^-1)*k = h
<=> (k^-1)*k € H
Jetzt ich vermute es gibt |H| / |H schnitt K| disjunkte Nebenklassen, denn
man muss durch |H schnitt K| dividieren, damit man die Nebenklassen nicht doppelt zählt. Aber warum genau weiss ich nicht?!
Danke,
SEARIUS
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Di 31.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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