Untergruppen und Normalteiler < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 04.11.2005 | | Autor: | melb |
Also ich habe die Aufgabe bekommen, alle Untergruppen des [mm] S_{3} [/mm] anzugeben.
[mm] S_{3}={e,(12),(13),(23),(123),(132)} [/mm] zum Beispiel. Heisst das niczht..das alle Elemente (alle 6) UG von [mm] S_{3} [/mm] sind? Ausserdem das eine Element verknüpft mit dem anderen bleibt in der UG z.b. (12) [mm] \circ [/mm] (13) . Allerdings weiss ich nicht , was zum Beispiel das Inverseelemnt von (13) ist? Wie finde ich das heraus.
Ich danke schon mal im voraus.
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> Also ich habe die Aufgabe bekommen, alle Untergruppen des
> [mm]S_{3}[/mm] anzugeben.
Hallo,
> [mm]S_{3}={ e,(12),(13),(23),(123),(132) }[/mm]
Heisst
> das niczht..das alle Elemente (alle 6) UG von [mm]S_{3}[/mm] sind?
Das wird nicht klappen. Außer bei {e}. Denn in jeder Gruppe muß ja zumindest das neutrale Element enthalten sein. Es wäre also {(12)} als Untergruppe nicht zu gebrauchen.
Wohl aber ist die von (12) erzeugte Menge <(12)>={e, (12)} eine Untergruppe. Das gilt auch fürdie von den anderen beiden Spiegelungen erzeugten Mengen.
Jetzt gucken wir die von (123) erzeugte Menge an.
<(123)>={ e, (123), (132)} =<(132)>
Und das war's dann auch. Es gibt 4 echte Untergruppen.
> Inverseelemnt von (13) ist?
> Wie finde ich das heraus.
Weißt Du denn, was (13) bedeutet? Das bedeutet, daß die 1 auf die 3 abgebildet wird und die 3 auf die 1. Und was muß man machen, um das neutrale Element zu kriegen? Nochmal dasselbe: (13) [mm] \circ [/mm] (13)=(3)=e, wenn man die Abbildungen des Dreiecks auf sich bemüht: zweimal spiegeln.
>
> Ich danke schon mal im voraus.
Ich hoffe, ich konnte Dir ein wenig helfen. Es ist nicht ganz leicht, weil ich nicht weiß, was an Vorkenntnissen vorhanden ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Fr 04.11.2005 | | Autor: | melb |
Du konntest mir schon ein bisschen helfen:
Ich weiss z.B das [mm] S_{3} [/mm] eine Permutation ist. Ich kenne die Definitionen von Gruppe und Untergruppe. Hauptsächlich fällt es mir in diesem Zuge einfach sehr schwer, die Bedingungen mit der Aufgabenstellungen zu vereinen. Wenn du verstehst was ich meine.
So nun zu dem was du geschrieben hast:
ist es dann also so das z.B eine Untergruppe die {e,(12)} ist?
Vielleicht kannst du mir einen Tipp geben, wie man grundsätzlich an solche Aufgaben heran geht.
Leider wird uns immer als therotisch erklärt, aber beispiele werden so gut wie nie gebracht...zumindest nicht im sinne unserer Aufgaben( aber das gehört jetzt eigentlich nicht hier her  )
Ich danke dir jedenfalls für deine Mühe
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> Du konntest mir schon ein bisschen helfen:
> Ich weiss z.B das [mm]S_{3}[/mm] eine Permutation ist. Ich kenne
> die Definitionen von Gruppe und Untergruppe. Hauptsächlich
> fällt es mir in diesem Zuge einfach sehr schwer, die
> Bedingungen mit der Aufgabenstellungen zu vereinen. Wenn du
> verstehst was ich meine.
>
> So nun zu dem was du geschrieben hast:
> ist es dann also so das z.B eine Untergruppe die {e,(12)}
> ist?
Ja, dies ist eine Untergruppe.Untergruppe erkennst Du daran, daß jede Verknüpfung von Elementen wieder in der Menge liegt. Nun, die einzige interessante Verknüfungin der Menge oben ist (12) [mm] \circ [/mm] (12)=e und das ist in der Gruppe.
Etwas mehr bietet die von (123) erzeugte Gruppe. Die hat immerhin drei elemente, und Du kannst dich davon überzeugen, daß jede Verknüpfung wieder drin liegt.
Gruß v. Angela
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> Vielleicht kannst du mir einen Tipp geben, wie man
> grundsätzlich an solche Aufgaben heran geht.
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> Leider wird uns immer als therotisch erklärt, aber
> beispiele werden so gut wie nie gebracht...zumindest nicht
> im sinne unserer Aufgaben( aber das gehört jetzt eigentlich
> nicht hier her )
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> Ich danke dir jedenfalls für deine Mühe
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