Untergruppen von S4 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 01.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | "Bestimmen Sie alle Untergruppen mit vier Elementen der symmetrischen Gruppe S4." |
Habe bereits die Suche benutzt und auch vieles gefunden, aber dennoch kann ich mir das ganze nicht erklären. Ich verstehe einfach nicht, wie man überhaupt eine Untergruppe bildet bzw. findet, in dem Fall suche ich ja nur die mit 4 Elementen, hat also etwas mit (1234) zu tun. Nur verstehe ich einfach nicht das Prinzip, wie ich daraus Untergruppen finden kann und wahrscheinlich noch beweisen muss. Am besten wäre eine Antwort, mit Beispielen zu andere Aufgaben bzw. auch grundlegenden Dingen, bin nämlich gerade im ersten Semester und tappe momentan (noch) im dunkeln.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/286967,0.html
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S4 hat 4!= 24 Elemente. Du kannst jedes Element in Zykelschreibweise darstellen. Jedes Element erzeugt eine Gruppe, indem man es mit sich selbst immer wieder verknüpft.
(1234) hattest du schon angegeben
(1324) gibt es nocht
...
Zum Experimentieren wäre vielleicht
http://hobbes.la.asu.edu/courses/site/devel-groups/tabs.html?grouptype=dn&n=3
interessant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Di 01.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Rein von der Logik her, wären die Untergruppen doch einfach:
(1234)
(1243)
(1342)
(1324)
(1432)
(1423)
(2134)
(2143)
...
Und so weiter. Aber das sind doch nicht alles Unterguppen von von S4 oder? Ansonsten wäre die Antwort zu der Frage ja einfach, dass ich alle Möglichkeiten aufzähle und mehr nicht, das kann es doch nicht gewesen sein, dass ich einfach 24 Möglichkeiten hinschreibe und fertig oder?
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Hallo hubbel!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Rein von der Logik her, wären die Untergruppen doch
> einfach:
>
> (1234)
> (1243)
> (1342)
> (1324)
> (1432)
> (1423)
>
> (2134)
> (2143)
> ...
>
> Und so weiter. Aber das sind doch nicht alles Unterguppen
> von von S4 oder? Ansonsten wäre die Antwort zu der Frage
> ja einfach, dass ich alle Möglichkeiten aufzähle und mehr
> nicht, das kann es doch nicht gewesen sein, dass ich
> einfach 24 Möglichkeiten hinschreibe und fertig oder?
Nein, so geht das nicht!
Du solltest dir die Untergruppendefinition ansehen und deine Schreibweise korrigieren.
Ein Beispiel einer der gesuchten Untergruppen mit $4$ Elementen ist:
[mm] $\left\langle (12),(34) \right\rangle [/mm] = [mm] \{\text {id},(12),(34), (12)(34)\}$
[/mm]
Eine Untergruppe, die nicht gesucht ist, ist beispielsweise [mm] $\left\langle (123) \right\rangle [/mm] = [mm] \{\text {id},(123),(132)\}$.
[/mm]
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Di 01.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe, naja die Definition für eine Untergruppe ist ja, dass es ein neutrales Element gibt, dass die Gruppe abgeschlossen ist und das es ein Inverses Element gibt.
Kannst du mir mal erklären, was in deinem Beispiel was wäre? id wäre doch das inverse Element oder? Aber was wäre demnach das neutrale Element und woran erkenne ich die Abgeschlossenheit?
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Hallo hubbel!
> Ich verstehe, naja die Definition für eine Untergruppe ist
> ja, dass es ein neutrales Element gibt, dass die Gruppe
> abgeschlossen ist und das es ein Inverses Element gibt.
Du solltest nicht so lässig formulieren! (Ich hingegen darf das, da ich müde bin  )
Eine Untergruppe einer Gruppe $G$ ist eine Teilmenge von $G$ mit gewissen Eigenschaften.
>
> Kannst du mir mal erklären, was in deinem Beispiel was
> wäre? id wäre doch das inverse Element oder?
id ist das neutrale Element. Permutationen sind Abbildungen und id ist die identische Abbildung.
> Aber was
> wäre demnach das neutrale Element
Es gibt nicht 'das' inverse Element, sondern das zu einem Element inverse Element.
> und woran erkenne ich
> die Abgeschlossenheit?
Das Produkt zweier beliebiger Elemente der Untergruppe ist ein Element der Untergruppe.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Gut, aber wie komme ich z.B. auf:
$ [mm] \left\langle (12),(34) \right\rangle [/mm] = [mm] \{\text {id},(12),(34), (12)(34)\} [/mm] $
Da muss es doch eine Methode geben oder nicht?
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> Gut, aber wie komme ich z.B. auf:
>
> [mm]\left\langle (12),(34) \right\rangle = \{\text {id},(12),(34), (12)(34)\}[/mm]
>
> Da muss es doch eine Methode geben oder nicht?
Hallo hubbel,
setzen wir einmal p:=(12) und q:=(34).
Die von den beiden Elementen p und q erzeugte Untergruppe
U = <p,q> besteht dann aus id, p, q und allen möglichen
Produkten, die daraus gebildet werden können, also
etwa $\ [mm] p*q,\quad p*p=p^2,\quad q*q=q^2,\quad [/mm] p*q*p$ , etc. etc.
Nun kann man aber leicht sehen, dass [mm] p^2=id [/mm] und [mm] q^2=id
[/mm]
sowie $\ p*q\ =\ q*p$ .
Deshalb reduziert sich ein kompliziertes Produkt wie
etwa $\ [mm] p*q^3*p^5*q^4*p^4*q^7$ [/mm] sofort erheblich, denn man kann
alle Potenzen mit geraden Exponenten herausstreichen
und alle ungeraden Exponenten durch 1 ersetzen bzw.
einfach weglassen. So wird aus $\ [mm] p*q^3*p^5*q^4*p^4*q^7$
[/mm]
der neue Ausdruck $\ p*q*p*q$.
Wegen der Kommutativität wird daraus [mm] p*p*q*q=p^2*q^2=id
[/mm]
Man sieht, dass tatsächlich die 4 Elemente $\ id, p, q, p*q$ schon
die gesamte Untergruppe ausmachen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, damit weiß ich dann, dass $ [mm] \left\langle (12),(34) \right\rangle [/mm] = [mm] \{\text {id},(12),(34), (12)(34)\} [/mm] $ eine 4-elementige Untergruppe von von S4 ist.
Aber wie bekomme ich weitere heraus? Würde ich dann einfach S4={1,2,3,4} anders zerlegen, sprich p=(13) und g=(24) und da alle Möglichkeiten zusammenbauen und wenn dann 4 Elemente dabei heraus kommen, hätte ich eine weitere Untergruppe? Und dann als nächstes p=(14) und q=(23) und damit hätte ich ja dann schon alle Kombinationen, das kann ja irgendwie nicht sein oder? Wir hatten auch Verknüpfungstabellen für die S3 z.B., ich könnte mir vorstellen, dass ich bei S4 so auch die Untergruppen herausbekommen könnte, nur wie müsste das aussehen? Und geht das überhaupt?
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> Ok, damit weiß ich dann, dass [mm]\left\langle (12),(34) \right\rangle = \{\text {id},(12),(34), (12)(34)\}[/mm]
> eine 4-elementige Untergruppe von von S4 ist.
>
> Aber wie bekomme ich weitere heraus? Würde ich dann
> einfach S4={1,2,3,4} anders zerlegen, sprich p=(13) und
> q=(24) und da alle Möglichkeiten zusammenbauen und wenn
> dann 4 Elemente dabei heraus kommen, hätte ich eine
> weitere Untergruppe? Und dann als nächstes p=(14) und
> q=(23) und damit hätte ich ja dann schon alle
> Kombinationen, das kann ja irgendwie nicht sein oder?
Das ist ja doch schon mal ein Anfang. Zu prüfen ist aber,
ob man das erzeugende Paar (p,q) nicht auch noch auf
andere Arten wählen könnte.
> Wir hatten auch Verknüpfungstabellen für die S3 z.B., ich
> könnte mir vorstellen, dass ich bei S4 so auch die
> Untergruppen herausbekommen könnte, nur wie müsste das
> aussehen? Und geht das überhaupt?
Hallo hubbel,
es gibt ja eigentlich (bis auf Isomorphie) nur zwei unter-
schiedliche Gruppen der Ordnung 4, nämlich einerseits
die zyklische Gruppe, die von einem einzigen Element
a≠id erzeugt wird und andererseits die Gruppe, die
(wie oben) durch zwei voneinander "unabhängige"
Elemente p und q mit [mm] p^2=q^2=id [/mm] erzeugt wird.
Nun ist ja eigentlich die Frage "nur", auf welche und
wieviele Arten man diese beiden Untergruppen-Typen
in die gegebene Gruppe [mm] S_4 [/mm] "einbetten" kann.
Doch dieses "nur" hat's offenbar in sich - man muss
sich auf eine gewisse Weise (vielleicht geometrisch)
die Gruppenstruktur von [mm] S_4 [/mm] übersichtlich machen,
um wirklich weiter zu kommen. Am meisten lernt man
dabei wohl, wenn man nicht einfach irgendwo nachguckt -
ich halte mich davon jedenfalls noch etwas zurück.
Aber dieser Weg kostet wohl einige Mühe, Zeit und
ein paar gute Einfälle.
Den Überblick habe ich im Moment auch noch nicht ...
Sinnvoll ist es aber bestimmt, von den möglichen
erzeugenden Elementen bzw. Elementpaaren auszu-
gehen. Dazu muss man die Elemente von [mm] S_4 [/mm] zuerst
einmal klassifizieren (nach ihren Zykeldarstellungen
und nach ihren Ordnungen in [mm] S_4).
[/mm]
Ein Tipp fällt mir gerade noch ein: Schreib dir mal
die Multiplikationstafeln für die zwei möglichen
Gruppen der Ordnung 4 auf und zeige dann, dass
es in einer solchen Gruppe kein Element der Ordnung
3 geben kann !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich danke dir für deine Mühen, aber ich muss diese Aufgabe morgen abgeben und habe keine konkrete Idee, wie ich das mache, gibts vllt sonst noch Vorschläge?
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Hi,
schauen wir uns die Elemente von [mm] S_4 [/mm] doch einmal an.
Jedes dieser 24 Elemente kann in Zykelschreibweise so
dargestellt werden, dass zunächst jede der 4 zu permu-
tierenden Zahlen 1, 2, 3, 4 genau einmal auftritt, also
z.B. id=(1)(2)(3)(4)
p=(12)(3)(4)
q=(134)(2)
Dann kann man stets (außer bei id) alle Einerzyklen
weglassen. Es zeigt sich, dass wir dann nur folgende
Arten von Elementen haben:
1.) id (bildet eine Klasse für sich)
2.) Zweierzyklen der Form (ab), natürlich mit a≠b
(man kann sie stets in der Form mit a<b notieren)
3.) Dreierzyklen der Form (abc) mit a≠b≠c≠a
(man kann immer die kleinste der 3 Zahlen an
den Anfang setzen)
4.) "Doppelzweier" der Form (ab)(cd)
5.) Viererzyklen, die man alle in der Form (1,a,b,c)
schreiben kann.
So. Bestimme nun einmal die Anzahl der Elemente
jeder dieser 5 Arten sowie die Ordnungen der
Elemente. Schau dann, was für Gruppen entstehen,
wenn du zunächst ein Element aus einer be-
liebigen Gruppe als erzeugendes Element nimmst.
So entstehen immer zyklische Gruppen (welcher
Ordnung ?).
Dann kommt bekanntlich eben noch in Frage, genau
zwei erzeugende Elemente (jedes von der Ordnung 2)
zu nehmen. Wenn dir vorher die Ordnungen der
Elementarten klar geworden sind, gibt es nun nicht
mehr sehr viele grundsätzlich verschiedene Fälle
zu testen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich glaube, nun hab ich es:
Ich baue eine Verknüpfungstafel, der Form:
*|id|(12)|(13)|(14)|(23)|(24)|(34)|(123)|(132)|(...)
id
(12)
(13)
.
.
.
Die erste Zeile und die Spalte haben jeweils 24 Elemente, also eben (12)|(13)...(132)... usw.
Nun verknüpfe ich die Permutationen und bekomme in der Tabelle eben die ganzen Untergruppen und da suche ich mir die 4-elementigen raus und habe das Ergebnis.
Ist das korrekt?
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> Ich glaube, nun hab ich es:
>
> Ich baue eine Verknüpfungstafel, der Form:
>
> *|id|(12)|(13)|(14)|(23)|(24)|(34)|(123)|(132)|(...)
> id
> (12)
> (13)
> .
> .
> .
>
> Die erste Zeile und die Spalte haben jeweils 24 Elemente,
> also eben (12)|(13)...(132)... usw.
>
> Nun verknüpfe ich die Permutationen und bekomme in der
> Tabelle eben die ganzen Untergruppen und da suche ich mir
> die 4-elementigen raus und habe das Ergebnis.
>
> Ist das korrekt?
Klar. Aber hast du dir auch klar gemacht, dass dies eine recht
umfangreiche Tabelle mit etwa 600 Einträgen wird, nicht unbe-
dingt übersichtlich. Und daraus dann die Untergruppen heraus-
zuklauben ist bestimmt noch viel mühsamer als die Tabelle
erst mal auszufüllen.
Um dir zu ersparen, die Nacht auf diese Art zu verbringen,
doch noch ein Hinweis: es gibt tatsächlich nur recht wenige
Untergruppen der verlangten Form. Schau dir jetzt einmal
auch noch diese Seite an: http://www.mathepedia.de/S4.aspx
Schönen Abend !
Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
(1234); (1243); (1324); (1342); (1423); (1432)
Das sollen ehrlich alle sein?
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> (1234); (1243); (1324); (1342); (1423); (1432)
>
> Das sollen ehrlich alle sein?
Hier nennst du 6 einzelne Viererzyklen, keine Unter-
gruppen von [mm] S_4.
[/mm]
Jede dieser 6 Permutationen ist aber erzeugendes
Element einer Untergruppe der Ordnung 4 von [mm] S_4.
[/mm]
Dabei stimmen aber je 2 der erzeugten Untergruppen
miteinander überein. So ist <(1234)> = <(1432)> ,
obwohl (1234) ≠ (1432)
Man erhält also insgesamt genau 3 zyklische Unter-
gruppen der Ordnung 4 von [mm] S_4 [/mm] .
Dann bleiben noch die nicht-zyklischen. Da ist die
Situation etwas komplizierter. Schau dir die ange-
gebene Seite zur Gruppe [mm] S_4 [/mm] noch etwas genauer an.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, habe ich mir angesehen, laut der Seite bzw. der Graphik unten ist die einzige 4-elementige Untergruppe die D2, sehe ich das richtig?
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> Ja, habe ich mir angesehen, laut der Seite bzw. der Graphik
> unten ist die einzige 4-elementige Untergruppe die D2, sehe
> ich das richtig?
Nein. Die Gruppe [mm] C_4 [/mm] (zyklische Gruppe der Ordnung 4) hat
auch 4 Elemente. Diese ist als Untergruppe von [mm] S_4 [/mm] genau
3 mal realisiert, nämlich:
1.) <(1234)> = <(1432)> = { id , (1234) , (1432) , (13)(24) }
2.) <(1243)> = <(1342)> = { id , (1243) , (1342) , (14)(23) }
3.) <(1324)> = <(1423)> = { id , (1324) , (1423) , (12)(34) }
Die andere (zu [mm] C_4 [/mm] nicht isomorphe) Gruppe der Ordnung 4,
also [mm] D_2, [/mm] kann man wie in der ![[]](/images/popup.gif) Grafik in mathepedia entweder
erzeugen durch ein Paar elementfremder Zweierzyklen, also
etwa <(13);(24)> (was dasselbe ergibt wie <(13);(13)(24)> !)
oder durch ein Paar sich "gegenseitig überschneidender
Doppelzweier" wie <(12)(34);(13)(24)>.
Nun ist es noch eine kombinatorische Aufgabe, zu berechnen,
auf wie viele Arten diese verschiedenen Einbettungen von [mm] D_2
[/mm]
in [mm] S_4 [/mm] möglich sind. Das Wesentliche ist damit gesagt.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Alles klar, danke für die Hilfe.
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> Alles klar, danke für die Hilfe.
Gerne. Hat mich auch ein Stück weiter gebracht bei der
Betrachtung von Gruppen und ihrer Untergruppen.
Guten Abend !
Al-Chw.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Rein von der Logik her, wären die Untergruppen doch
> einfach:
>
> (1234)
> (1243)
> (1342)
> (1324)
> (1432)
> (1423)
>
> (2134)
> (2143)
> ...
Das wäre schon einmal ein Anfang für das systematische durchgehen.
Jetzt schreibst du noch
<(1234)>={id,(1234),(1234)(1234),...}
<......>={
Damit siehst du z.B. dass <(2134)>=<(1342)> ist.
Und es bleiben nur noch die Gruppen, die jeweils von den Elementen
(1234)
(1243)
(1324)
erzeugt werden. Die Kleinsche Vierergruppe [mm] \left\langle (12),(34) \right\rangle = \{\text {id},(12),(34), (12)(34)\} [/mm] kennt man eventuell, damit kann man das Muster weiter machen <(13)(24)>,...
>
> Und so weiter. Aber das sind doch nicht alles Unterguppen
> von von S4 oder? Ansonsten wäre die Antwort zu der Frage
> ja einfach, dass ich alle Möglichkeiten aufzähle und mehr
> nicht, das kann es doch nicht gewesen sein, dass ich
> einfach 24 Möglichkeiten hinschreibe und fertig oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Soll <(2134)>=<(1342)> ungleich heißen oder wie? Und wenn ja, woran erkenne ich das?
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> Soll <(2134)>=<(1342)> ungleich heißen oder wie?
Nein. Es soll genau das heißen, was da auch zu lesen ist.
Du solltest zuerst die Zykelschreibweise von Permutationen
verstehen lernen:
p=(2134) steht für die Permutation, welche die 4 Elemente
1,2,3,4 in der angegebenen Reihenfolge zyklisch vertauscht:
2 wird auf 1 abgebildet
1 wird auf 3 abgebildet
3 wird auf 4 abgebildet
4 wird auf 2 abgebildet
(zyklisch vertauschen, daher "Zykelschreibweise")
Dieselbe Permutation könnte man in einer ausführ-
licheren Schreibweise so darstellen:
[mm] p=\pmat{2&1&3&4\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\1&3&4&2}
[/mm]
Hier werden die einzelnen Zuordnungen dargestellt.
In dieser Darstellung spielt die Reihenfolge der
Kolonnen keine Rolle; man kann sie z.B. nach dem
Wert des oberen (Urbild-) Elementes ordnen:
[mm] p=\pmat{1&2&3&4\\ \downarrow&\downarrow&\downarrow&\downarrow\\3&1&4&2}
[/mm]
Damit kannst du dir auch klar machen, dass (2134) = (1342)
ist.
Dann haben wir da noch die spitzen Klammern "<" und ">".
Man benützt sie, um die Gruppe zu bezeichnen, die von
einem oder einigen Elementen erzeugt wird.
<(2134)> steht also für diejenige Untergruppe von [mm] S_4, [/mm] welche
von dem Element p erzeugt wird. Sie enthält natürlich
einmal das neutrale Element e (identische Abbildung),
dann natürlich p und weiter alle Elemente, die daraus
durch Verkettung der Abbildungen (Gruppenmultipli-
kation erzeugt werden können, also
[mm] p^2=p*p=(2134)*(2134)=(14)(23)
[/mm]
[mm] p^3=p^2*p=(14)(23)(2134)=(1243)
[/mm]
[mm] p^4=p^3*p=(1243)*(2134)=(1)(2)(3)(4)=e
[/mm]
Die von p erzeugte Untergruppe hat also wirklich genau 4
Elemente, denn Multiplikation eines beliebigen Elementes
mit e bringt ja nichts neues, und eine Multiplikation von
zwei beliebigen Potenzen [mm] p^m [/mm] und [mm] p^n [/mm] liefert wieder eine
Potenz von p, nämlich [mm] p^{m+n}. [/mm] Diese Potenzen wiederholen
sich aber stets im gleichen Viererzyklus periodisch.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mi 02.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, das ist schonmal ein wichtiger Punkt, aber irgendwie hilft mir das bei meiner Aufgabe nicht weiter, hab irgendwie das Gefühl, dass das alles zu hoch für mich ist. Ich warte mal die andere Antwort lieber ab.
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> "Bestimmen Sie alle Untergruppen mit vier Elementen der
> symmetrischen Gruppe S4."
Eine komplette Übersicht über die Untergruppen von S4
findet man beim Googeln nach
"Musterlösung Blatt 4 Prof. Dr. Rudolf Scharlau" Aufgabe 13 S4
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:51 Mi 02.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
oder unter
http://hobbes.la.asu.edu/courses/site/devel-groups/tabs.html?grouptype=dn&n=3
Group Type-> By Order ->24 [mm] ->S_4 [/mm] -> Show Group
und dann Subgroup to diagram
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> oder unter
>
> http://hobbes.la.asu.edu/courses/site/devel-groups/tabs.html?grouptype=dn&n=3
>
> Group Type-> By Order ->24 [mm]->S_4[/mm] -> Show Group
> und dann Subgroup to diagram
Hallo wieschoo,
danke für den Link. Da hat sich ja wirklich jemand ins
Zeug gelegt, um uns zu ermöglichen, solche Diagramme
auf ein paar Mausklicks hin erzeugen zu lassen.
LG Al
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