Untergruppen von S[sub]4[/sub] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Fr 08.06.2007 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | | Stellen Sie fest, wie viele Untergruppen welcher Ordnung es in S4 gibt. Versuchen Sie jeweils die Größe eines minimalen Erzeugendensystems zu bestimmen. |
Hallo!
Nach Lagrange können Untergruppen die Ordnungen 1,2,3,4,6,8, 12 und 24 haben, da |S4|=24.
Diese Untergruppen könnte man theoretisch durch Probieren auflisten. Aber das kostet wahnsinnig viel Mühe. Gibt es einen besseren Weg?
Muss es zu jeder der oben genannten Ordnung eine Untergruppe geben?
Auch zur Bestimmung eines minimalen Erzeugendensystems fällt mir nur die Möglichkeit wie oben ein, durch Auflisten darauf zu kommen. Gibt es hier einen besseren Weg?
Vielen Dank für jede Hilfe!!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Also der Ordnung 1 und 24 gibt es ja nur eine Gruppe.
Eine Gruppe der Ordnung 12 wäre [mm] $A_4$ [/mm] die Menge der geraden Permutationen, diese besitzt [mm] $\frac{4!}{2}$ [/mm] Elemente und ist sogar ein Normalteiler in [mm] $S_4$.
[/mm]
Eine Gruppe der Ordnung $4$ wäre die Kleinsche Vierergruppe, welche überings ein Normalteiler in [mm] $A_4$ [/mm] ist.
Bei dem Rest kann ich Dir nicht weiterhelfen.
Auf diese Untergruppen bin ich überings gekommen, als ich daran gedacht habe, dass [mm] $S_4$ [/mm] auflösbar ist. Diese Untergruppen wurden im Beweis dazu verwendet.
Ciao Denny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Sa 09.06.2007 | | Autor: | julia.k |
Guten Morgen!!
Danke für die Mühe 
Liebe Grüße,
julia.k
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Sa 09.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Julia!
> Stellen Sie fest, wie viele Untergruppen welcher Ordnung es
> in S4 gibt. Versuchen Sie jeweils die Größe
> eines minimalen Erzeugendensystems zu bestimmen.
> Nach Lagrange können Untergruppen die Ordnungen
> 1,2,3,4,6,8, 12 und 24 haben, da |S4|=24.
>
> Diese Untergruppen könnte man theoretisch durch Probieren
> auflisten. Aber das kostet wahnsinnig viel Mühe. Gibt es
> einen besseren Weg?
Man kann das Probieren intelligent gestalten, man muß schließlich nicht jede Teilmenge untersuchen. Den Ausdruck 'wahnsinnig viel' würde ich hier eher noch nicht verwenden.
Der Zweck der Aufgabe scheint mir vielmehr darin zu liegen, daß man mal für eine konkrete und nicht völlig simple Gruppe den ganzen Gruppenverband aufschreibt.
Die [mm] S_{4} [/mm] mußt du übrigens nicht unbedingt als Permutationsgruppe der Zahlen von 1 bis 4 realisieren, du kannst sie dir auch als Gruppe der Drehungen und Spiegelungen eines regulären Tetraeders vorstellen. Das fördert die räumliche Anschauung.
> Muss es zu jeder der oben genannten Ordnung eine
> Untergruppe geben?
Muß es nicht, tut es aber! Einige hast du schon von Denny. Zu 8 gibt es eine 2-Sylow-Gruppe, und damit gibt es auch zu 2 und 4 Untergruppen. Zu 6 müßte es keine geben - in [mm] A_{4} [/mm] z. B. gibt es keine -, aber hier hast du ja Einbettungen der [mm] S_{3}, [/mm] indem du ein Element festhältst (eine Zahl oder eine Tetraederspitze).
> Auch zur Bestimmung eines minimalen Erzeugendensystems
> fällt mir nur die Möglichkeit wie oben ein, durch Auflisten
> darauf zu kommen. Gibt es hier einen besseren Weg?
Ich würde wohl sogar mit den Erzeugensystemen anfangen und mal gucken, was denn einzelne Elemente (oder 2er-Teilmengen) so erzeugen.
Ohne Fleiß kein Preis 
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Sa 09.06.2007 | | Autor: | julia.k |
Guten Morgen Statler!
Erstmal vielen Dank für deine Antwort!
Ich habe mit verschiedenen Erzeugendensystemen angefangen, und gekuckt, was da dann so alles rauskommt. Aber sobald 2 oder mehr Elemente drin sind, wird das meiner Meinung nach wieder soooo viel zum Rechnen, es gibt ja dann so viele Möglichkeiten, die Elemente und deren Potenzen miteinander zu verknüpfen.
Ich habe auch einige Untergruppen zu den meisten Ordnungen gefunden, aber ich bin weit entfernt von Vollständigkeit. Und das war es ja eigentlich, was die Aufgabe wollte: wie viele Untergruppen gibt es tatsächlich.
Aber da auch unser Prof die Auflistung nicht vervollständigt hat, glaube ich, dass das nur über's Probieren geht, stur alle Möglichkeiten durch. Doch das lasse ich jetzt mal.
Wünsch dir noch einen schönen Tag!
julia.k
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