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| Aufgabe | Stellen Sie die Verknüpfungstafel der zyklischen Gruppe [mm] (Z_{4},+) [/mm] auf.
Geben Sie alle Untergruppen von [mm] Z_{4} [/mm] an. |
Hallo,
ich habe Probleme bei der Bestimmung der Untergruppen.
Die Verknüpfungstafel habe ich soweit verstanden, nur finde ich keinen Weg zu den Untergruppen.
Ich habe recherchiert und weiß, dass die Untergruppen von [mm] Z_{4}= \{0\}, \{0,2\} [/mm] und [mm] \{0,1,2,3\} [/mm] sind.
Bloß wie kommt man darauf? Durch die Untergruppenkriterien?
Oder gibt es noch einen alternativen Weg?
LG Ne0the0ne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Mi 21.01.2015 | | Autor: | Ne0the0ne |
Hat niemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 21.01.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Stellen Sie die Verknüpfungstafel der zyklischen Gruppe
> [mm](Z_{4},+)[/mm] auf.
Hast du die Verknüpfungstafel?
> Geben Sie alle Untergruppen von [mm]Z_{4}[/mm] an.
> Bloß wie kommt man darauf? Durch die
> Untergruppenkriterien?
Die spielen natürlich die entscheidende Rolle!
Daß mindestens die 0 enthalten sein muß, ist dir hoffentlich klar (neutrales Elem.). Wenn außerdem die 1 dabei ist, dann auch 1+1=2 und weiter 2+1=3, also alle Elemente.
Wenn außer der 0 nicht die 1, aber die 2 dabei ist, dann ... (Ab hier kannst du es selbst.)
Gruß aus HH
Dieter
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Danke sehr für die Antwort.
> Hast du die Verknüpfungstafel?
Ja, ich habe sie hier als Bild: [Dateianhang nicht öffentlich]
> > Untergruppenkriterien?
> Die spielen natürlich die entscheidende Rolle!
Schon mal schön zu wissen, denn der Tutor wusste heute früh gar nicht so recht, was ich wissen wollte.
> Daß mindestens die 0 enthalten sein muß, ist dir hoffentlich klar (neutrales Elem.)
Ja, denn die Verknüpfung ist ja "+", daher ist das neutrale Element e = 0.
> Wenn außerdem die 1 dabei ist, dann auch 1+1=2 und weiter 2+1=3, also alle Elemente.
Hier verstehe ich noch nicht so ganz, warum ich anfange, die Elemente aufzusummieren - soll das die Erfüllung der Bedingung der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition sein?
> Wenn außer der 0 nicht die 1, aber die 2 dabei ist, dann ...
gibt es kein weiteres Element in der Untergruppe, da 2+2=0 sind.
Wie weise ich dann noch nach, dass auch das Inverse von den Elementen in der Untergruppe enthalten ist?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mi 21.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> Danke sehr für die Antwort.
> > Hast du die Verknüpfungstafel?
> Ja, ich habe sie hier als Bild: [Dateianhang nicht öffentlich]
Hast Du die wirklich selbst erstellt, wie Du angegeben hast?
>
> ......
> > Wenn außerdem die 1 dabei ist, dann auch 1+1=2 und weiter
> 2+1=3, also alle Elemente.
> Hier verstehe ich noch nicht so ganz, warum ich anfange,
> die Elemente aufzusummieren - soll das die Erfüllung der
> Bedingung der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition sein?
Darum geht es. Führe es durch und beobachte, was passiert.
>
> > Wenn außer der 0 nicht die 1, aber die 2 dabei ist, dann
> ...
> gibt es kein weiteres Element in der Untergruppe, da 2+2=0
> sind.
>
> Wie weise ich dann noch nach, dass auch das Inverse von den
> Elementen in der Untergruppe enthalten ist?
Indem Du in die Verknüpfungstafel schaust.
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> Hast Du die wirklich selbst erstellt, wie Du angegeben hast?
Ja, mit Word 2013 - warum fragst du?
Um nur nochmal sicher zu gehen, würde ich gerne an der [mm] (Z_{6}, [/mm] +) das anwenden, was ich jetzt hier gelernt habe:
Erst einmal die Verknüpfungstafel (habe ich auch mit Word 2013 erstellt):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann sind die Untergruppen von [mm] Z_{6}: \{0\}, \{0,...,5\}, \{0,2,4\} [/mm] und [mm] \{0,3\}.
[/mm]
Stimmt das so?
Wie verhält sich das dann bei Zyklischen Gruppen, wenn n = eine Primzahl ist.
Dann gibt es nur die trivialen Untergruppen mit [mm] \{e\} [/mm] und [mm] \{Z_{n}\}?
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Do 22.01.2015 | | Autor: | hippias |
Die Antwort auf beide Fragen ist "ja".
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Do 22.01.2015 | | Autor: | chrisno |
> > Hast Du die wirklich selbst erstellt, wie Du angegeben
> hast?
> Ja, mit Word 2013 - warum fragst du?
>
Weil wir aufpassen müssen, dass hier nichts erscheint, das uns ein Problem wegen einer Urheberrechtsverletzung einhandelt. Es kommt öfter vor, dass ein User meint, mit bloßem Ausschneiden schon selbst zum Urheber geworden zu sein. Da Deine Tabelle für den Zweck recht aufwendig gestaltet ist, war ich etwas skeptisch. Deine Antwort beseitigt meine Sorge.
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