Unterkörper und Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe zwei Fragen und hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen...
1) Zu zeigen ist, dass [mm] \wurzel{3} [/mm] nicht zu dem Unterkörper [mm] \IQ [\wurzel{2}] [/mm] := {x [mm] \in \IR [/mm] | x= a+b [mm] \wurzel{2}, [/mm] a, b [mm] \in \IQ} [/mm] von [mm] \IR [/mm] gehört.
Ich habe mir überlegt, einen Beweis durch Widerspruch zu erbringen, indem ich annehme [mm] \wurzel{3} \in \IQ [\wurzel{2}]. [/mm] Dies würde doch bedeuten, dass [mm] \wurzel{3} [/mm] entweder im Bruch darstellbar sein muss, also [mm] \wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{p}{q} [/mm] oder [mm] \wurzel{3}=\wurzel{2}... [/mm] oder wie mache ich das?!?
2) Zu konstruieren ist ein Körper mit vier Elementen.
Wie macht man das? Mit vier Elementen weiß ich nicht, wie ich die Axiome anwenden soll.
M1: ab(cd) = (ab)cd = a(bc)d Hä?
Danke im Voraus;)
Nescio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Fr 04.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe mir überlegt, einen Beweis durch Widerspruch zu
> erbringen, indem ich annehme [mm]\wurzel{3} \in \IQ [\wurzel{2}].[/mm]
Sicher, wie sonst?!?
> Dies würde doch bedeuten, dass [mm]\wurzel{3}[/mm] entweder im
> Bruch darstellbar sein muss, also [mm]\wurzel{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{p}{q}[/mm] oder [mm]\wurzel{3}=\wurzel{2}...[/mm] oder wie mache
> ich das?!?
Nicht ganz: das würde bedeuten [m]\sqrt{3}=a+b\sqrt{2},\quad a,b\in \IQ[/m]. Jetzt quadrier mal -was passiert dann?
> Wie macht man das? Mit vier Elementen weiß ich nicht, wie
> ich die Axiome anwenden soll.
Probier mal eine Verknüpfungstabelle für Mal und Plus, du hast ja zwei Elemente 1 und 0, nehmen dann noch a und b hinzu. Mach mal die für Mal - welche Möglichkeiten gibt es? (Das ist eine Adhoc-Methode, die nicht besonders elegant ist - mit mehr Algebra kann man da schönere Sachen machen ...)
> M1: ab(cd) = (ab)cd = a(bc)d Hä?
Das Assoziativgesetz?!?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
ich habe jetzt die Gleichung [mm] \wurzel{3}= a+b\wurzel{2} [/mm] quadriert und erhalte 3= [mm] (a+b\wurzel{2})^2. [/mm] Habe mir überlegt für a und b (da beide [mm] \in \IQ) [/mm] Brüche einzusetzen: a= [mm] \bruch{p}{q} [/mm] und b= [mm] \bruch{r}{s}, [/mm] dabei sind die Brüche teilerfremd.
Ich erhalte also:
3= [mm] [\bruch [/mm] ps +qr [mm] \wurzel{2}{qs}]^2. [/mm] Meine Begründung, warum [mm] \wurzel{3} \not\in \IQ [\wurzel [/mm] {2}]: 3 ist teilerfremd, die rechte Seite der Gleichung nicht. Stimmt das? Wie kann ich das anders machen, habe ein Brett vor dem Kopf;)
Vielen Dank!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 04.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nach dem Quadrieren erhält man doch
[mm] $3=a^2+2b^2 [/mm] + [mm] 2ab\sqrt{2}$
[/mm]
mit [mm] $a,b\in \IQ$.
[/mm]
Daraus folgt $ab=0$, also $a=0$ oder $b=0$.
Beide Fälle kannst du leicht zu einem Widerspruch führen. (Ist $3$ das Quadrat einer rationalen Zahl? Und [mm] $\frac{3}{2}$?)
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe nicht verstanden, warum ab = 0 sein muss. Den Rest konnte ich nachvollziehen.
Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen?
Vielen Dank;)
Nescio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nescio!
Da [mm] $\wurzel{2} [/mm] \ [mm] \not\in [/mm] \ [mm] \IQ$ [/mm] , also keine rationale Zahl ist, sind es Vielfache von [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] ebenfalls nicht.
Das heißt, dieser Gesamtterm [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] + [mm] 2ab*\wurzel{2}$ [/mm] kann nur dann rational werden, wenn der Koeffizient vor dem [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] entweder ebenfalls nicht-rational (z.B. $2ab \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] ) oder aber Null wird.
Der erste Fall mit $2ab \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] scheidet ja gemäß Voraussetzung aus, da ja gilt: $a,b \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IQ$ [/mm] .
Damit verbleibt nur noch: $2ab \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $a*b \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $a=0 \ [mm] \vee [/mm] \ b=0$ .
Gruß
Loddar
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