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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Mi 25.05.2016 | | Autor: | Skyrula |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] M:=\{(x,y,z)\in\IR^3|z^2-xy=1\} [/mm] eine nichtkompakte zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] ist. |
Hallo, ich komme hier absolut nicht weiter, aber ich weiß nicht nichts. Es wäre sehr hilfreich, falls jemand einen kleinen Denkanstoß in die Richtige Richtung geben könnte.
Danke euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mi 25.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass [mm]M:=\{(x,y,z)\in\IR^3|z^2-xy=1\}[/mm] eine
> nichtkompakte zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des
> [mm]\IR^3[/mm] ist.
> Hallo, ich komme hier absolut nicht weiter, aber ich weiß
> nicht nichts. Es wäre sehr hilfreich, falls jemand einen
> kleinen Denkanstoß in die Richtige Richtung geben
> könnte.
Dass M nicht kompakt ist sieht man leicht: M ist nicht beaschränkt. Begründe dies !
Was sind die definierenden Eigenschaften von "zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^3[/mm] " ?
FRED
>
> Danke euch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mi 25.05.2016 | | Autor: | Skyrula |
Zur Kompaktheit von M lässt sich sagen, dass M durch den Term [mm] z^2 [/mm] nach unten beschränkt ist, da [mm] z^2 [/mm] eine Parabelförmige nach oben geöffnete Funktion ist. Der Term -xy verschiebt die Schranke zwar, verändert aber nichts and der Existenz der Schranke.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mi 25.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Zur Kompaktheit von M lässt sich sagen, dass M durch den
> Term [mm]z^2[/mm] nach unten beschränkt ist, da [mm]z^2[/mm] eine
> Parabelförmige nach oben geöffnete Funktion ist. Der Term
> -xy verschiebt die Schranke zwar, verändert aber nichts
> and der Existenz der Schranke.
Mit Verlaub, aber das ist großer Unsinn !
M ist nicht beschränkt, denn für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist
$(n, [mm] -\bruch{1}{n},0) \in [/mm] M$
FRED
>
> Richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 25.05.2016 | | Autor: | Skyrula |
Ich verstehe das leider nicht so ganz. Kann ich den Gradienten von f [mm] (x,y,z)=z^2-xy-1 [/mm] bilden, diesen gleich null setzen und damit zeigen das f nur in einer Seite beschränkt und damit nicht kompakt ist?
Komme da für das extremum auf (0,0,0)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Mi 25.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe das leider nicht so ganz. Kann ich den
> Gradienten von f [mm](x,y,z)=z^2-xy-1[/mm] bilden, diesen gleich
> null setzen und damit zeigen das f nur in einer Seite
> beschränkt und damit nicht kompakt ist?
Das ist doch alles Unsinn !
Dir scheint der Beschränktheitsbegriff nicht klar zu sein. Wie willst Du dann mit Mannigfaltigkeiten klarkommen ?
Annahme: M ist beschränkt. Dann gibt es ein c>0 mit
$ ||(x,y,z)|| [mm] \le [/mm] c $ für alle (x,y,z) [mm] \in [/mm] M,
$||*||$ ist die euklidische Norm auf [mm] \IR^3.
[/mm]
Für n [mm] \in \IN [/mm] ist, das hab ich Dir schon gesagt, [mm] a_n:=(n,- \bruch{1}{n},0) \in [/mm] M, somit haben wir
[mm] ||a_n||= \wurzel{n^2+\bruch{1}{n^2}} \le [/mm] c für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Quadriert man und mult. man mit [mm] n^2 [/mm] durch, so kommt
[mm] n^4+1 \le c*n^2 [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Das letzte ist aber ganz sicher blanker Unsinn.
Fazit: M ist nicht beschränkt, und damit auch nicht kompakt.
FRED
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> Komme da für das extremum auf (0,0,0)
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