Untermannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Do 25.08.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, ob die folgende Teilmengen M [mm] \subset \IR^3 [/mm] eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm] darstellt
[mm] M=\{(x,y,z)\in\IR^3 : x^2+y^2-(z-1)^2-2=0=x^2+y^2+z^3-3\} [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe obige Aufgabe mal druchgerechnet, bin mich aber nicht sicher ob ich zum richtigen Schluss komme, für einen kurzen Kommentar bin ich sehr dankbar 
Ich habe zunächst die partiellen Ableitungen von
[mm] f_1(x,y,z)=(x^2+y^2-(z-1)^2-2 [/mm] und [mm] f_2(x,y,z)=x^2+y^2+z^3-3 [/mm] bestimmt, dies darf ich machen, da diese partiell diffbar sind, aus Verknüpfung partiell diffbarer Funktionen.
Somit ergibt sich die Jacobimatrix:
[mm] J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 2x & 2y & 3z^2}
[/mm]
Jetzt muss ich doch nur noch gucken welchen Rang diese Matrix hat:
Für [mm] J_f(x,y,z) [/mm] ergibt sich mit Subtraktion der beiden Zeilen
[mm] J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 0 & 0 & 3z^2+2z-2}
[/mm]
Diese Matrix besitzt eine Nullzeile (also nicht vollen Rang), wenn [mm] z_{1,2}=-\bruch{1}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3} [/mm] ist.
Durch Einsetzen in M ist aber ersichtlich, dass o.g. [mm] z_{1,2} [/mm] nicht in M liegen, somit existiert keine Nullzeile, und somit hat die Matrix vollen Rang, also rang(J)=2.
Da gilt: dim Raum - rang J = dim UMF, also 3-2=1 ist M eine 1-dim UMF des [mm] \IR^3.
[/mm]
Was sagt ihr dazu? DANKE für Eure Hilfe
LG
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Hallo,
> Bestimmen Sie, ob die folgende Teilmengen M [mm]\subset \IR^3[/mm]
> eine Untermannigfaltigkeit des [mm]\IR^3[/mm] darstellt
>
> [mm]M=\{(x,y,z)\in\IR^3 : x^2+y^2-(z-1)^2-2=0=x^2+y^2+z^3-3\}[/mm]
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> Hallo zusammen, ich habe obige Aufgabe mal druchgerechnet,
> bin mich aber nicht sicher ob ich zum richtigen Schluss
> komme, für einen kurzen Kommentar bin ich sehr dankbar
>
>
> Ich habe zunächst die partiellen Ableitungen von
> [mm]f_1(x,y,z)=(x^2+y^2-(z-1)^2-2[/mm] und [mm]f_2(x,y,z)=x^2+y^2+z^3-3[/mm]
> bestimmt, dies darf ich machen, da diese partiell diffbar
> sind, aus Verknüpfung partiell diffbarer Funktionen.
>
> Somit ergibt sich die Jacobimatrix:
> [mm]J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 2x & 2y & 3z^2}[/mm]
>
> Jetzt muss ich doch nur noch gucken welchen Rang diese
> Matrix hat:
> Für [mm]J_f(x,y,z)[/mm] ergibt sich mit Subtraktion der beiden
> Zeilen
> [mm]J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 0 & 0 & 3z^2+2z-2}[/mm]
>
> Diese Matrix besitzt eine Nullzeile (also nicht vollen
> Rang), wenn [mm]z_{1,2}=-\bruch{1}{3}\pm\bruch{\wurzel{7}}{3}[/mm]
> ist.
>
> Durch Einsetzen in M ist aber ersichtlich, dass o.g.
> [mm]z_{1,2}[/mm] nicht in M liegen, somit existiert keine Nullzeile,
> und somit hat die Matrix vollen Rang, also rang(J)=2.
Richtig , der Rang deiner Matrix ist 2.
>
> Da gilt: dim Raum - rang J = dim UMF, also 3-2=1 ist M eine
> 1-dim UMF des [mm]\IR^3.[/mm]
o.k.
>
> Was sagt ihr dazu? DANKE für Eure Hilfe
in Ordnung.
Lg
> LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Do 25.08.2016 | | Autor: | fred97 |
Es gibt noch einen Fall, indem die Matrix
$ [mm] J_f(x,y,z)=\pmat{ 2x & 2y & -2(z-1) \\ 2x & 2y & 3z^2} [/mm] $
nicht vollen Rang hat: nämlich für x=y=0 und z=1. Der Punkt (0,0,1) liegt nicht in M, wie man sofort sieht.
Aber erwähnen sollte man diesen Fall.
FRED
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