Untermannigfaltigkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:24 Di 13.11.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | man zeige, dass durch die Gleichung [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] =1 eine Untermannigfaltigkeit im [mm] \IR^2 [/mm] defeniert wird. |
Wir hatten einen Satz:
Sei M [mm] \subset \IR^n [/mm] . Für jedes [mm] x_0 \in [/mm] M existiere eine Umgebung U (in [mm] \IR^n) [/mm] une eine stetig differenzierbare Abbildung [mm] f=(f_1 [/mm] ,.., [mm] f_{n-k}): [/mm] U -> [mm] \IR^{n-k} [/mm] , k<n, mit der Eigenschaft Rang Df = n-k in U,
sodass gilt M [mm] \cap [/mm] U = [mm] \{ x \in U: f(x) =0 \}
[/mm]
Dann ist M eine Untermannigfaltigkeit.
Ich dachte daran die Glg umzuschreiben.
M: [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] =1
M = [mm] \{ \vektor{x \\ y} \in \IR \times \IR : x^2 - y^3 =1 \}
[/mm]
[mm] f(x,y)=x^2 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] -1
[mm] \frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = 2x
[mm] \frac{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] -3y^2
[/mm]
Ich habe nicht so recht verstanden wie man das macht.
Wäre über Hilfe dankbar ;D
|
|
| |
|
Hallo,
wo ist denn Dein Problem? Du hast doch (fast) alles erledigt.
Schreibe Df noch an; man sieht der Rang ist 1 für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0;0). Aber (0,0) ist offensichtlich nicht in M. Damit sind die Vorrausetzungen des Satzes erfüllt und M ist Untermannigfaltigkeit.
gruß korbinian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Di 13.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke,
Und was ist das n, k in der Definition/Satz am anfamg in dem Bsp hier?
Ich kann die Parallelen zum Satz nicht nachvollziehen.
Als weitere Frage steht:
Kann die ganze Mannigfaltigkeit als Graph einer stetig differenzierbaren Funktion dargestellt werden?
Da stehe ich auf der leitung. es ist doch teils def. der untermannigfaltigkeit, dass man der in U liegende Teil der Untermannigfaltigkeit als Graph einer Funktion von [mm] \IR^k [/mm] nach [mm] \IR^{n-k} [/mm] darstellen kann.
wobei U eine Umbegung (im [mm] \IR^n) [/mm] für jeden Punkt [mm] x_0 \in [/mm] M ist
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Di 13.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Keiner eine Idee darauf?
Liebe Grüße LU
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:04 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-,
> Danke,
> Und was ist das n, k in der Definition/Satz am anfamg in
> dem Bsp hier?
> Ich kann die Parallelen zum Satz nicht nachvollziehen.
n=2, k=1
> Als weitere Frage steht:
> Kann die ganze Mannigfaltigkeit als Graph einer stetig
> differenzierbaren Funktion dargestellt werden?
Nein. Nimm mal an, es gäbe so ein [mm] $f\colon [/mm] D [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $D\subseteq \IR$ [/mm] und [mm] $\bigl\{\bigl (t, f(t)\bigr)\colon t \in D\bigr\}=M [/mm] $ und führe das zu einem Widerspruch.
>
> Da stehe ich auf der leitung. es ist doch teils def. der
> untermannigfaltigkeit, dass man der in U liegende Teil der
> Untermannigfaltigkeit als Graph einer Funktion von [mm]\IR^k[/mm]
> nach [mm]\IR^{n-k}[/mm] darstellen kann.
> wobei U eine Umbegung (im [mm]\IR^n)[/mm] für jeden Punkt [mm]x_0 \in[/mm]
> M ist
Ja. Aber eben nur lokal. An verschiedenen Punkten der Untermannigfaltigkeit sind das im allgemeinen verschiedene Funktionen. So ist der Einheitskreis [mm] $x^2+y^2=1$ [/mm] eine Untermannigfaltigkeit in [mm] $\IR^2$, [/mm] aber es gibt keine Funktion, deren Graph der Einheitskreis ist.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo
Ich schaff das leider nicht so richtig mit widerspruchsbeweis.
[mm] f(x,y)=x^2+y^3-1 [/mm] ist die Nullstellen menge der Funktion
f kann nicht als Graph einer Funktion x=f(y) geschrieben werden, da [mm] x=\pm \sqrt{1+y^3}
[/mm]
Ich dachte zuerst an den Satz von den impliziten Funktionen, bin damit aber nicht weitergeommen..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Do 15.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-,
> Ich schaff das leider nicht so richtig mit
> widerspruchsbeweis.
Wenn man die Gleichung nach [mm] $x^2+y^3 [/mm] = 1$ nach $y$ auflöst, erhält man [mm] $y=\root [/mm] 3 [mm] \of {1-x^2}$ [/mm] für [mm] $x\in [/mm] [-1; [mm] 1]\,,$ [/mm] und diese Funktion ist in [mm] $\pm [/mm] 1$ nicht differenzierbar.
Löst man die Gleichung nach $x$ auf, erhält man [mm] $x=\sqrt{1-y^3}$ [/mm] für [mm] $y\in (-\infty;1]\,,$ [/mm] und diese Funktion ist in 1 nicht differenzierbar.
Die Graphen beider Funktionen sind nur echte Teilmengen der Mannigfaltigkeit, aber das reicht schon, um zu zeigen, daß es keine überall differenzierbaren Funktionen geben kann, deren Graphen die Mannigfaltigkeit darstellen.
Ich sehe gerade, daß es in der Aufgabe um die Mannigfaltigkeit [mm] $x^2-y^3=1$ [/mm] geht und nicht um [mm] $x^2+y^3=1\,.$ [/mm] Aber damit geht es genau so...
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 15.11.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
danke für deine Antwort
Für "menine Funktion" : [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^3 [/mm] =1
Glg nach y auflösen y= [mm] \wurzel[3]{x^2-1} [/mm] für x [mm] \in (\infty,- [/mm] 1] [mm] \cup [/mm] [1, [mm] \infty)
[/mm]
Glg nach x auflösen x = [mm] \wurzel{y^3-1} [/mm] für y [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty)
[/mm]
Nicht differenzierbarkeit gilt an selben stellen.
ok?
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Do 15.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-,
> Hallo,
> danke für deine Antwort
>
> Für "menine Funktion" : [mm]x^2[/mm] - [mm]y^3[/mm] =1
>
> Glg nach y auflösen y= [mm]\wurzel[3]{x^2-1}[/mm] für x [mm]\in (\infty,-[/mm]
> 1] [mm]\cup[/mm] [1, [mm]\infty)[/mm]
> Glg nach x auflösen x = [mm]\wurzel{y^3-1}[/mm] für y [mm]\in[/mm] [1,
> [mm]\infty)[/mm]
> Nicht differenzierbarkeit gilt an selben stellen.
> ok?
Ja. Allerdings hast Du nach $x$ falsch aufgelöst. Es muß [mm] $x=\sqrt{y^3+1}$ [/mm] heißen.
Andererseits brauchen wir gar nicht nach $x$ aufzulösen, wie mir jetzt erst auffällt. Wenn $M$ Graph einer Funktion $f: [mm] D\to \IR$ [/mm] ist, so ist [mm] $x^2-f(x)^3=1$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] D$, und für [mm] $x\in [/mm] [-1, 1]$ liegt [mm] $\bigl(x, [/mm] f(x) [mm] \bigr)$ [/mm] genau dann in [mm] $M\,,$ [/mm] wenn [mm] $f(x)=-\root [/mm] 3 [mm] \of {1-x^2}$ [/mm] ist. Nun ist $f$ in $1$ nicht differenzierbar ist, da der Differenzquotient gegen unendlich strebt für [mm] $x\to [/mm] 1, [mm] x\in [/mm] [-1, [mm] 1]\,.$ [/mm] Überprüfe bitte meine Argumentation -- dies ist meine erste Begegnung mit Untermannigfaltigkeiten.
Übrigens ist für [mm] $D=\IR$ [/mm] und [mm] $f(x)=\root [/mm] 3 [mm] \of {x^2-1}$ [/mm] für [mm] $|x|\ge 1\;, f(x)=-\root [/mm] 3 [mm] \of [/mm] {1- [mm] x^2}$ [/mm] für [mm] $|x|\le [/mm] 1$ tatsächlich $M$ der Graph von $f$.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
|
